mathematics51 접선과 법선 방정식 완전 마스터 접선과 법선 방정식 완전 마스터함수 그래프 위의 한 점에서 곡선과 스치는 직선을 접선(Tangent line), 그 접선에 수직인 직선을 법선(Normal line)이라 부릅니다. 접선과 법선 방정식을 자유자재로 유도·활용하면, 곡선 해석부터 물리·공학의 궤적 분석까지 폭넓게 응용할 수 있습니다.본 포스팅에서는접선·법선 기본 개념접선 방정식 유도법선 방정식 유도암묵함수·매개변수곡선의 접선·법선활용 예제와 실전 팁순으로 정리하여, 수능·모의고사·실전 문제에서 접선·법선 문제를 완전 정복하는 방법을 제시합니다.접선과 법선 기본 개념접선의 정의곡선 $y=f(x)$ 위 한 점 $(a,,f(a))$에서의 접선은, 순간 변화율을 기울기로 갖는 직선입니다.순간 변화율 $f'(a)$는 곡선의 기울기이며, 이를 이용해 .. 2025. 4. 14. 미분을 통한 속도·가속도 물리 연계 문제 미분을 통한 속도·가속도 물리 연계 문제미적분을 공부하면서 가장 직관적으로 체감할 수 있는 응용 분야는 바로 운동학입니다. 위치 함수 $x(t)$의 도함수로 얻는 속도 $v(t)=x′(t)$, 속도의 도함수로 얻는 가속도 $a(t)=v′(t)=x″(t)$ 개념은 물리·공학뿐 아니라 일상에서도 빈번히 등장합니다.이번 포스팅에서는속도·가속도의 정의 및 수식등가속도 운동 문제가변 가속도 문제그래프 해석 문제심화 연계 문제를 살펴보며, 미적분 개념이 물리 현상을 어떻게 정밀하게 서술하는지 이해하고 실전 문제풀이 감각을 기르도록 하겠습니다.속도와 가속도의 정의속도임의의 물체가 위치 $x(t)$에서 시간 $t$ 후 $x(t+Δt)$로 이동할 때, 평균 속도는$$\frac{Δx}{Δt}=\frac{x(t+Δt)-x(.. 2025. 4. 13. 극값·최대최소 완전 공략: 라그랑주 승수 개념까지 극값·최대최소 완전 공략: 라그랑주 승수 개념까지함수의 극값과 최댓값·최솟값 문제는 미적분의 핵심 응용 중 하나로, 수능·모의고사뿐 아니라 공학·경제학·물리학 분야에서도 자주 등장합니다. 특히 단일 변수 함수에서 1차 도함수를 활용한 국소 극값 판정, 2차 도함수 검사법, 닫힌 구간의 경계값 처리 과정을 확실히 익히면, 대부분의 최대최소 문제는 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다.더 나아가 다변수 함수에서는 라그랑주 승수법으로 제약조건을 가진 최적화 문제까지 해결할 수 있으므로, 이번 포스팅에서는극값과 최대최소 개념 정리1차 도함수 판정법2차 도함수 검사법경계값 포함 최댓값·최솟값 문제라그랑주 승수법종합 전략 및 팁순으로 단계별 핵심 원리와 대표 예제를 통해 완전 정복하는 방법을 제시하겠습니다.극값과 최대·.. 2025. 4. 12. 그래프 스케치 프로세스: 증가·감소·굽음·점근선 그래프 스케치 프로세스: 증가·감소·굽음·점근선함수 그래프를 정확하고 빠르게 스케치하기 위해서는 단순한 좌표 계산을 넘어 증가·감소, 굽음(오목·볼록), 점근선 등 다각적인 관찰이 필요합니다. 이 과정을 체계화한 5단계 그래프 스케치 프로세스를 익히면, 수능·모의고사 고난도 함수 문제에서도 혼란 없이 일관된 절차로 해법을 전개할 수 있습니다.그래프 스케치 전체 프로세스 요약정의역·치역 확인증가·감소 구간 분석굽음(오목·볼록) 구간 및 변곡점 탐색점근선(수직·수평·사선) 계산대표점 연결 및 세부 형태 보완각 단계별로 해야 할 일과 활용 도구, 주의점을 명확히 알아두면, 초보자도 체계적인 그래프 해석이 가능합니다.증가·감소 구간 분석1차 도함수 계산함수 $f(x)$의 그래프가 증가하려면 $f'(x)>0$, .. 2025. 4. 11. Leibniz 공식, 잔차항 분석, 대표 함수 전개 - 고차 미분과 테일러 다항식 Leibniz 공식, 잔차항 분석, 대표 함수 전개 - 고차 미분과 테일러 다항식고등학교 이과 수학의 미분 학습은 단순한 1차 도함수 계산을 넘어, 높은 차수의 도함수까지 다루고 이를 기반으로 함수를 다항식으로 근사하는 테일러 다항식으로 확장됩니다. 고차 미분은 함수의 곡률·변곡점을 분석하고, 테일러 다항식은 복잡한 함수를 간단한 다항식으로 근사해 계산·해석 편의를 제공합니다.이번 포스팅에서는고차 미분의 개념과 표기법대표적인 고차 미분 공식(Leibniz 공식 등)테일러 다항식의 정의와 잔차항맥클로린 다항식과 실제 예제오류(오차) 분석 및 응용순으로 살펴보며, 실전에서 자주 쓰이는 핵심 패턴과 심화 문제 풀이 팁을 제공합니다.고차 미분의 개념고차 미분의 정의1차 도함수: $f'(x)=\displaysty.. 2025. 4. 10. 곱·몫·합성·역함수 미분 법칙 증명 곱·몫·합성·역함수 미분 법칙 증명미분법에서 함수 간의 결합은 매우 중요합니다. 특히 두 함수의 곱이나 몫, 합성, 그리고 역함수에 대한 미분 공식은 복합 함수의 순간 변화율을 계산할 때 반드시 사용됩니다.이 글에서는 극한 정의를 바탕으로 네 가지 미분 법칙을 엄밀하게 증명하고, 각 공식이 어떻게 유도되는지 단계별로 살펴보겠습니다.곱의 법칙 (Product Rule) 증명함수 $u(x),v(x)$가 모두 점 $x$에서 미분 가능할 때,$$f(x) = u(x) v(x)$$의 도함수는 다음과 같습니다.$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}.$$여기서 분자에 항을 하나 더하고 빼어 변형하면,$$\begin{aligned}&u(x+h)v(x+h)-u(x)v(.. 2025. 4. 9. 기본 미분 공식 20선 암기 팁 기본 미분 공식 20선 암기 팁미분은 이과 수학·물리·공학 등 다양한 분야에서 함수의 변화 속도를 분석하는 핵심 도구입니다. 특히 고등학교 수준에서 자주 쓰이는 기본 미분 공식 20선을 단숨에 암기하면, 복잡한 문제도 빠르게 접근할 수 있습니다.이 글에서는20가지 대표 미분 공식공통 패턴과 암기 포인트다양한 암기법(운율, 시각화, 플래시카드)를 차례로 정리하여, 효과적으로 공식 암기에 도움을 드리겠습니다.1. 대수적 미분 공식 (기본 규칙 6가지)상수 함수공식: $f(x)=C;\Longrightarrow;f'(x)=0$암기 팁: 변하지 않으면 변화율도 0 → “변하지 않는 상수는 0”멱함수(거듭제곱)공식: $f(x)=x^n;\Longrightarrow;f'(x)=n,x^{n-1}$암기 팁: “내년엔 x로.. 2025. 4. 8. 미분 기초와 활용: 변화율·도함수 탄생 스토리 미분 기초와 활용: 변화율·도함수 탄생 스토리고등학교 이과 수학에서 미분(Differentiation)은 함수의 기울기와 변화량을 엄밀하게 다루는 도구입니다. 함수가 입력값에 따라 얼마나 빠르게 변하는지를 정량화한 개념이 바로 변화율(rate of change)이며, 이를 극한 과정을 통해 일반화한 것이 도함수(derivative)입니다.이번 포스팅에서는 평균 변화율에서 순간 변화율로, 그리고 도함수의 정의와 해석까지 한 걸음씩 따라가며 미분이 탄생한 과정을 살펴보고, 실제 그래프 해석과 심화 문제까지 응용력을 기르는 방법을 제시합니다.변화율의 개념평균 변화율함수 $f(x)$에서 $x=a$와 $x=b$ 사이의 평균 변화율은 두 점 $(a,,f(a))$와 $(b,,f(b))$를 잇는 할선(secant li.. 2025. 4. 7. 수열에서 등식·부등식 증명 모음 수열에서 등식·부등식 증명 모음수열 문제를 풀 때 가장 핵심이 되는 기술 중 하나는 수열 간 등식과 부등식을 명확히 증명하는 것입니다. 알맞은 증명 기법을 선택하면, 복잡해 보이는 관계도 체계적으로 해체하여 해답을 이끌어낼 수 있습니다.본 포스팅에서는대수적 변형을 이용한 등식 증명수학적 귀납법을 이용한 일반항·합 공식 증명부등식 증명의 다양한 테크닉대표 예제 및 응용를 단계별로 정리하여, 수능·모의고사·경시형 문제까지 폭넓게 적용할 수 있는 증명 모음을 제공합니다.대수적 변형을 이용한 등식 증명부분합 공식의 유도증명 목표: 등차수열 ${a_n}$의 부분합$$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n}{2}(a_1 + a_n).$$증명 요령: 앞뒤로 뒤집어 더한 뒤 상쇄상세$S_n = a_.. 2025. 4. 6. 이전 1 2 3 4 5 6 다음 반응형