mathematics51 부정적분에서 특수함수 (ln, arcsin) 처리 부정적분에서 특수함수 처리: $\ln x$와 $\arcsin x$ 집중 공략부정적분(원시함수 찾기)은 다항식이나 지수·삼각함수뿐 아니라, $\ln x$나 $\arcsin x$ 같은 특수함수의 적분 테크닉이 핵심입니다.이 글에서는$\int \ln x,dx$ 와 $\int \arcsin x,dx$ 의 유도 원리치환적분과 부분적분을 결합한 깔끔한 증명실전 활용 예제 및 응용 팁를 단계별로 살펴보겠습니다.$\displaystyle \int \ln x,dx$ 해법기본 아이디어$\ln x$ 는 멱함수 규칙으로 바로 적분할 수 없어, 부분적분을 적용해야 합니다.단계별 유도부분적분 공식을 기억합니다.$$\int u,dv = u,v - \int v,du.$$$u$ 와 $dv$ 를 선택합니다.$u = \ln x \quad.. 2025. 4. 24. 적분을 이용한 평균값·중심 정리 적분을 이용한 평균값·중심 정리적분은 단순히 곡선 아래 면적을 구하는 도구를 넘어, 함수의 평균값을 구하고, 도형이나 곡선의 중심(centroid, 무게중심)을 찾는 핵심 수단입니다. 본 포스팅에서는 다음 두 가지 정리를 중심으로 다루겠습니다.적분을 이용한 평균값 정리(Mean Value Theorem for Integrals)적분을 이용한 중심 정리(Centroid Theorem)각 정리의 정의·증명·해석 과정을 살펴본 뒤, 실전 예제로 개념을 확실히 다지고, 물리적·기하학적 응용 사례를 통해 활용력을 기르실 수 있도록 구성했습니다.평균값 정리평균값 정리의 정의연속 함수 $f(x)$가 구간 $[a,b]$에서 연속일 때, 구간 전체의 평균값 $\bar f$는$$\bar f = \frac{1}{b-a}\i.. 2025. 4. 23. 길이·곡률·표면적 계산 실전 길이·곡률·표면적 계산 실전미적분학에서 곡선의 길이, 곡률(curvature), 그리고 회전체의 표면적(surface area)을 계산하는 방법은 공학·물리·건축·도로 설계 등 다양한 분야에서 핵심 도구로 쓰입니다. 일반적인 정적분 계산과 달리, 이들 계산은 다음 세 가지 공식을 이해하고 적절히 적용하는 능력이 필요합니다.곡선 길이(arc length)평면 곡선 곡률(curvature)회전체 표면적(surface area of revolution)이 글에서는 이 세 가지 공식을 유도 원리와 함께 정리하고, 실제 예제를 통해 어떻게 적용하는지 단계별로 살펴보겠습니다.곡선 길이 공식매개변수 형태 곡선 길이곡선이 매개변수 형태$$x = x(t),\quad y = y(t),\quad t\in[a,b]$$로 주어.. 2025. 4. 22. 회전체 부피 공식: 원통껍질·원판·와셔 비교 회전체 부피 공식 비교: 원통껍질법·원판법·와셔법회전체 부피의 기본 개념회전체란회전체는 평면 위에 있는 곡선이나 영역을 어떤 축을 기준으로 회전시켜서 얻어지는 입체를 말합니다. 예를 들어, 함수 $y=f(x)$가 $x$축을 기준으로 $a\le x\le b$ 구간에서 그려진 곡선을 회전하면, 그 곡선 아래 영역이 도넛처럼 회전하며 생성된 부피가 회전체 부피입니다.정적분과 기하학적 해석회전체의 부피 $V$는 극한 과정을 통해 무수히 얇은 원판이나 원통껍질을 쌓아 올린 누적합으로 정의됩니다.얇은 조각 하나의 부피를 구하고, 이를 $\Delta x\to0$일 때 $\int$로 합산원판법과 와셔법은 얇은 원판(두께 $\Delta x$)을 겹치듯 쌓는 방법원통껍질법은 얇은 원통껍질(두께 $\Delta x$)을 겹치.. 2025. 4. 20. 적분 면적 계산 끝판왕: 이상·이하 주피 전략 적분 면적 계산 끝판왕: 상합·하합 전략함수 $f(x)$가 정의역 $[a,b]$ 위에서 그리는 곡선 아래 면적을 구하는 것은, 단순히 $\int_a^b f(x),dx$ 공식을 외우는 것을 넘어 상합(上和)과 하합(下和), 즉 리만합(Riemann Sum) 전략을 이해해야만 완벽하게 해결할 수 있습니다. 특히 복잡한 함수나 불연속점을 포함한 구간에서도, 상합과 하합이 점점 일치하는 과정을 이용해 면적을 엄밀히 정의하고 계산하는 방법을 터득하면 “끝판왕”이 될 수 있습니다.이 글에서는정적분의 리만합 정의상합과 하합의 개념 및 계산 방법상합·하합 극한 일치 조건(다르부 정리)구간 분할과 샘플점 선택 전략대표 예제와 실전 팁순으로 정리하여, 어떤 함수라도 체계적으로 면적을 구할 수 있는 상합·하합 전략을 소개합.. 2025. 4. 19. 정적분 정의 & 적분법칙 증명 정적분 정의 및 기초 개념정적분의 의미정적분(定積分, definite integral)은 함수 $f(x)$가 구간 $[a,b]$ 위에서 만들어내는 넓이나 전체 누적량을 엄밀하게 정의하기 위한 도구입니다. 직관적으로는 구간 $[a,b]$ 위에 그린 곡선 아래 면적을 가리키지만, 보다 일반적으로는 물리적 누적량(거리·일·전하 등)이나 통계적 누적분포를 계산할 때도 사용됩니다.정적분은 리만 합(Riemann sum) 을 이용해 다음과 같이 정의됩니다.구간 $[a,b]$를 $n$개의 작은 구간으로 분할:$$a = x_0 \quad \Delta x_i = x_i - x_{i-1}.$$각 소구간 $[x_{i-1},x_i]$에서 임의의 표본점 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$를 선택.리만 합(Riemann .. 2025. 4. 18. 적분 기초와 활용부정적분 테크트리: 기본 공식·부분 적분·치환 적분 기초와 활용: 부정적분 테크트리적분(積分)은 미적분학의 쌍을 이루는 핵심 개념으로, 면적·부피 계산은 물론 표본 추출, 확률 분포, 물리적 운동량·에너지 해석 등 다양한 분야에 응용됩니다. 특히 부정적분(Indefinite Integral) 은 함수의 미분을 역으로 수행하여 원함수를 찾는 과정이며, 이를 효율적으로 수행하기 위한 테크트리(tech tree)를 구축하면 복잡한 적분 문제도 체계적으로 해결할 수 있습니다.이 글에서는부정적분의 정의와 기본 성질필수 기본 공식 모음치환적분(Substitution)의 원리 및 단계부분적분(Integration by Parts)의 응용부정적분 테크트리 요약과 활용 팁순으로 정리하여, 처음 적분을 접하는 학습자도 단계별로 경로를 따라가며 자연스럽게 실력을 쌓을 .. 2025. 4. 17. 다항함수 미분과 로피탈 정리(L’Hôpital’s Rule) 응용 다항함수 미분과 로피탈 정리(L’Hôpital’s Rule) 응용고등수학에서 다항함수(polynomial function) 는 가장 기본적이면서도, 미분법을 배우는 첫걸음이 되는 함수 유형입니다. 다항함수의 미분 공식을 정확히 익히고, 이를 바탕으로 극한 상황에서 유용한 로피탈 정리(L’Hôpital’s Rule)를 활용하면, 복잡해 보이는 비정형 극한 문제도 체계적으로 해석할 수 있습니다.이번 포스팅에서는다항함수 미분의 기본 원리다항함수 전용 미분 공식미분을 활용한 극값·증가·감소 분석로피탈 정리의 개념과 적용 조건다양한 로피탈 정리 응용 예제를 단계별로 살펴보며, 실제 문제에 바로 적용 가능한 스킬을 정리합니다.다항함수 미분 기초다항함수란?다항함수는 다음과 같은 형태의 함수입니다.$$f(x)=a_nx.. 2025. 4. 16. 미분을 이용한 부등식 증명 BEST 10 미분을 이용한 부등식 증명 BEST 10부등식은 수학적 사고의 정수이며, 미분을 활용하면 함수의 기울기와 변곡 성질을 이용해 간결하면서도 강력한 증명이 가능합니다.이 글에서는 고등수준에서 자주 등장하는 10가지 부등식을 엄선하여, 극한·도함수 정의를 바탕으로 단계별 증명 과정을 제시합니다. 각 부등식의 핵심 아이디어를 익히면, 어떠한 미분 기반 부등식 문제도 자신 있게 해결할 수 있습니다.1. $e^x \ge 1 + x$증명:함수 $f(x)=e^x - x -1$을 정의하면,$$f'(x)=e^x -1,\quad f''(x)=e^x>0.$$$f'(x)=0$은 $x=0$에서만 성립.$f''(x)>0$이므로 $f'(x)$는 단조증가, 따라서$x$x>0$ 구간에서는 $f'(x)>0$ → $f$ 증가기저값 $f(0.. 2025. 4. 15. 이전 1 2 3 4 5 6 다음 반응형