길이·곡률·표면적 계산 실전

길이·곡률·표면적 계산 실전

미적분학에서 곡선의 길이, 곡률(curvature), 그리고 회전체의 표면적(surface area)을 계산하는 방법은 공학·물리·건축·도로 설계 등 다양한 분야에서 핵심 도구로 쓰입니다. 일반적인 정적분 계산과 달리, 이들 계산은 다음 세 가지 공식을 이해하고 적절히 적용하는 능력이 필요합니다.

1. 곡선 길이(arc length)
2. 평면 곡선 곡률(curvature)
3. 회전체 표면적(surface area of revolution)

이 글에서는 이 세 가지 공식을 유도 원리와 함께 정리하고, 실제 예제를 통해 어떻게 적용하는지 단계별로 살펴보겠습니다.

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곡선 길이 공식

매개변수 형태 곡선 길이

곡선이 매개변수 형태
$$
x = x(t),\quad y = y(t),\quad t\in[a,b]
$$
로 주어질 때, 매개변수 구간 $[a,b]$에서의 곡선 길이 $L$은
$$
L = \int_a^b \sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2},dt.
$$
유도 아이디어: 아주 작은 구간에서의 선분 길이를 피타고라스 정리를 이용해 $\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$로 근사한 뒤 $\Delta t\to0$ 극한.

함수 형태 곡선 길이

함수가 $y=f(x)$ $(x\in[a,b])$ 형태로 주어지면, 매개변수 형태에서 $t=x$로 놓고
$$
\frac{dx}{dt}=1,\quad \frac{dy}{dt}=f'(x)
$$
를 대입하여,
$$
L=\int_a^b \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2},dx.
$$

실전 적용 예제

예제 1. 포물선 $y = x^2$ $(0\le x\le1)$의 길이

1. $f'(x)=2x$
2. $$
   L = \int_0^1 \sqrt{1 + (2x)^2},dx
   = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2},dx.
   $$
3. 치환적분 $x=\tfrac12\sinh u$ 또는 삼각치환 $x=\tfrac12\tan\theta$ 등을 이용하여 계산.
   • 삼각치환: $x = \tfrac12\tan\theta$, $dx = \tfrac12\sec^2\theta,d\theta$,
     $\sqrt{1+4x^2}=\sqrt{1+\tan^2\theta}=\sec\theta$
   • 적분 구간: $x=0\to\theta=0$, $x=1\to\tan\theta=2\to\theta=\arctan2$
   • $$
     L = \int_0^{\arctan2} \sec\theta\cdot \tfrac12\sec^2\theta,d\theta
     = \frac12\int_0^{\arctan2} \sec^3\theta,d\theta,
     $$
     이후 부분적분과 $\sec^3$의 표준 적분 공식을 적용하여 최종값을 얻습니다.

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곡률(curvature) 공식

평면 곡선 곡률 정의

평면 곡선 위 한 점에서의 곡률 $\kappa$는 곡선이 얼마나 급격히 구부러지는지를 나타내는 양이며,
$$
\kappa = \biggl|\frac{d\alpha}{ds}\biggr|,
$$
여기서 $\alpha$는 접선 방향 각도, $s$는 호길이 변수(arc length).

함수 형태 곡률 공식

$y=f(x)$로 주어졌을 때,
$$
\kappa(x)
= \frac{\bigl|f''(x)\bigr|}{\bigl[1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2\bigr]^{3/2}}.
$$
유도 아이디어: 매개변수 곡률 식을 $t=x$로 치환하고 $ds/dx=\sqrt{1+(f')^2}$.

매개변수 형태 곡률 공식

매개변수 $t$일 때,
$$
\kappa(t)
= \frac{\bigl|x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)\bigr|}
{\bigl[(x'(t))^2 + (y'(t))^2\bigr]^{3/2}}.
$$
이 식은 두 번 미분된 매개변수 함수의 결합으로 곡률을 계산합니다.

실전 적용 예제

예제 2. 포물선 $y=x^2$에서 $(1,1)$ 점의 곡률

1. $f'(x)=2x,;f''(x)=2$
2. $$
   \kappa(1)
   = \frac{|2|}{\bigl[1+(2\cdot1)^2\bigr]^{3/2}}
   = \frac{2}{\bigl[1+4\bigr]^{3/2}}
   = \frac{2}{5^{3/2}}
   = \frac{2}{5\sqrt5}.
   $$

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회전체 표면적 공식

원판법(회전체 표면적 버전)

함수 $y=f(x)\ge0$가 $x$축을 축으로 $[a,b]$ 구간에서 회전할 때, 생기는 곡면(surface of revolution)의 면적 $S$는
$$
S = 2\pi \int_a^b f(x),\sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2};dx.
$$

• 유도 원리: 작은 호(segment)를 원주 $2\pi f(x)$로 감싼 원통껍질 형태로 근사

매개변수 형태 회전체 표면적

매개변수 $t\in[a,b]$일 때,
$$
S = 2\pi \int_a^b y(t),\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2 + \bigl(y'(t)\bigr)^2};dt,
$$
$y(t)$ 대신 반경 함수, 그리고 $ds=\sqrt{(x')^2+(y')^2}dt$ 대입.

실전 적용 예제

예제 3. $y=\sqrt{x}$, $0\le x\le1$ 을 $x$축 회전

1. $f(x)=\sqrt{x},;f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}$
2. $$
   S = 2\pi \int_0^1 \sqrt{x},\sqrt{1 + \frac1{4x}},dx
   = 2\pi \int_0^1 \sqrt{x},\sqrt{\frac{4x+1}{4x}},dx
   = \pi \int_0^1 \sqrt{\frac{4x+1}{x}},dx.
   $$
3. 삼각치환 또는 부분분수 분해로 적분을 전개하여 최종 값을 구합니다.

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종합 실전 팁

1. 함수 형태에 따라 길이·곡률·표면적 공식을 바로 외워 두세요.
2. 매개변수 vs. 함수: 매개변수 형태일 때는 $t$-적분, 함수 형태일 때는 $x$-적분 공식을 적용.
3. 치환·부분적분을 조합하여 복잡한 루트와 분수 형태의 적분도 해결할 수 있습니다.
4. 호길이 요소 $\sqrt{1+(f')^2}$는 길이·표면적·곡률 모두에 등장하니, 공통 패턴으로 인지하세요.
5. 수치 근사가 필요할 때는 중점 사각법 등으로 $\Delta t$ 작게 나눠 근사 가능.

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결론

• 곡선 길이: $L=\int\sqrt{1+(f')^2},dx$ 또는 매개변수 공식
• 곡률: $\kappa=|f''|/(1+(f')^2)^{3/2}$ 또는 매개변수 공식
• 회전체 표면적: $S=2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f')^2},dx$

이 세 가지 계산은 적분과 미분의 결합을 통해 구현되며, 복잡한 공학·과학 문제에서도 핵심적인 역할을 합니다. 오늘 정리한 공식을 바탕으로 다양한 곡선과 회전체 예제를 스스로 풀어 보시고, 실제 산업·연구 현장에서 곡선·표면 해석 능력을 키워보시기 바랍니다.