적분 기초와 활용부정적분 테크트리: 기본 공식·부분 적분·치환

적분 기초와 활용: 부정적분 테크트리

적분(積分)은 미적분학의 쌍을 이루는 핵심 개념으로, 면적·부피 계산은 물론 표본 추출, 확률 분포, 물리적 운동량·에너지 해석 등 다양한 분야에 응용됩니다. 특히 부정적분(Indefinite Integral) 은 함수의 미분을 역으로 수행하여 원함수를 찾는 과정이며, 이를 효율적으로 수행하기 위한 테크트리(tech tree)를 구축하면 복잡한 적분 문제도 체계적으로 해결할 수 있습니다.

이 글에서는

1. 부정적분의 정의와 기본 성질
2. 필수 기본 공식 모음
3. 치환적분(Substitution)의 원리 및 단계
4. 부분적분(Integration by Parts)의 응용
5. 부정적분 테크트리 요약과 활용 팁

순으로 정리하여, 처음 적분을 접하는 학습자도 단계별로 경로를 따라가며 자연스럽게 실력을 쌓을 수 있도록 안내합니다.

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부정적분의 정의와 기본 성질

부정적분의 의미

• 미분이 함수의 기울기를 구하는 연산이라면, 부정적분은 주어진 함수 $f(x)$의 원함수(Antiderivative) $F(x)$를 찾는 과정입니다.
• $F'(x)=f(x)$ 를 만족하는 $F(x)$를 부정적분이라고 부르며,
  $$
  \int f(x),dx = F(x) + C
  $$
  형태로 표현합니다. 여기서 $C$는 적분 상수(Constant of Integration) 로, 서로 다른 원함수 간의 차이를 보정합니다.

기본 성질

1. 선형성
   $$
   \int \bigl(a,f(x) + b,g(x)\bigr),dx = a\int f(x),dx ;+; b\int g(x),dx.
   $$
2. 미분과의 역관계
   $$
   \frac{d}{dx}\Bigl(\int f(x),dx\Bigr) = f(x).
   $$
3. 상수 함수 적분
   $$
   \int C,dx = Cx + K.
   $$

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필수 기본 공식 모음

다항 함수

• $$\int x^n,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n\neq -1).$$
• $$\int \frac{1}{x},dx = \ln|x| + C.$$

지수·로그 함수

• $$\int e^x,dx = e^x + C.$$
• $$\int a^x,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\quad(a>0,;a\neq1).$$
• $$\int \ln x,dx = x\ln x - x + C.$$

삼각 함수

• $$\int \sin x,dx = -\cos x + C.$$
• $$\int \cos x,dx = \sin x + C.$$
• $$\int \sec^2 x,dx = \tan x + C.$$
• $$\int \csc^2 x,dx = -\cot x + C.$$
• $$\int \sec x\tan x,dx = \sec x + C.$$
• $$\int \csc x\cot x,dx = -\csc x + C.$$

역삼각 함수

• $$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},dx = \arcsin x + C.$$
• $$\int \frac{1}{1 + x^2},dx = \arctan x + C.$$

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치환적분(Substitution)

원리와 유도

치환적분은 $u=h(x)$ 로 치환하여 복잡한 형태를 간단히 하는 방법입니다.

1. 치환 변수 설정: $u = h(x)$, $du = h'(x),dx$.
2. 원적분을 $u$-적분으로 전환:
   $$
   \int f\bigl(h(x)\bigr),h'(x),dx ;=; \int f(u),du.
   $$
3. $F(u)$ 까지 적분한 뒤 $u=h(x)$ 로 역치환.

단계별 절차

1. 적분식 관찰: $h'(x)$ 가 곱해진 형태인지 확인.
2. 치환: $u = h(x)$ 로 두고 $dx = du / h'(x)$.
3. 적분: $\int f(u),du$ 형태로 바꿔 계산.
4. 역치환: $u$ 대신 $h(x)$ 넣고 $+C$.

예제

$$
\int x,e^{x^2},dx.
$$

• $u = x^2,;du=2x,dx\implies x,dx = \frac{du}{2}$.
• 결과:
  $$
  \frac{1}{2}\int e^u,du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C.
  $$

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부분적분(Integration by Parts)

공리 및 공식

부분적분은 곱의 적분을 처리하는 방법으로, 곱셈 미분 공식의 역을 이용합니다.
$$
\int u,dv = u,v - \int v,du.
$$
여기서 $u$ 와 $dv$ 는 적절히 분리하여 선택합니다.

선택 전략(LIATE 규칙)

• 우선순위: Logarithmic > Inverse trigonometric > Algebraic > Trigonometric > Exponential
• $u$ 에는 우선순위가 높은 함수를, $dv$ 에는 나머지를 두면 일반적으로 계산이 용이해집니다.

단계별 절차

1. $u$ 와 $dv$ 를 선택.
2. $du = u',dx$, $v = \int dv$ 계산.
3. 공식을 적용하여 새로운 적분으로 변환.
4. 필요한 경우 반복 적용.

예제

$$
\int x\ln x,dx.
$$

• 선택: $u=\ln x,;dv = x,dx\implies du=\frac{1}{x}dx,;v=\frac{x^2}{2}$.
• 계산:
  $$
  \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x},dx
  =\frac{x^2}{2}\ln x - \frac12\int x,dx
  =\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.
  $$

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부정적분 테크트리 요약

시작
 ├─ 다항·지수·삼각 기본 공식 적용?
 │    └─ Yes: 직접 ∫ 수행 후 종료
 ├─ 복합 함수 형태?
 │    ├─ 내부에 h'(x) 존재 → 치환적분
 │    └─ 곱 형태 → 부분적분
 ├─ 역삼각·로그 형태?
 │    └─ 기본 역삼·로그 공식
 └─ 복합·반복 적용 필요?
      └─ 치환 ↔ 부분적분 반복 순환

• 다항·지수·삼각 : 우선 기본 공식을 바로 대입
• 치환적분 : $du$ 가 함께 있으면 최우선
• 부분적분 : 곱셈 형태에서 남는 항이 단순해지는 방향으로 선택
• 역삼각·로그 : 특수 공식 적용

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결론

부정적분은 크게 기본 공식, 치환적분, 부분적분 세 축으로 구성됩니다. 각 기법의 적합 조건과 절차를 명확히 이해하고, 부정적분 테크트리를 머릿속에 떠올리며 문제를 단계별로 분해하면, 어떤 형태의 적분 문제도 능숙하게 해결할 수 있습니다.