회전체 부피 공식: 원통껍질·원판·와셔 비교

회전체 부피 공식 비교: 원통껍질법·원판법·와셔법

회전체 부피의 기본 개념

회전체란

회전체는 평면 위에 있는 곡선이나 영역을 어떤 축을 기준으로 회전시켜서 얻어지는 입체를 말합니다. 예를 들어, 함수 $y=f(x)$가 $x$축을 기준으로 $a\le x\le b$ 구간에서 그려진 곡선을 회전하면, 그 곡선 아래 영역이 도넛처럼 회전하며 생성된 부피가 회전체 부피입니다.

정적분과 기하학적 해석

회전체의 부피 $V$는 극한 과정을 통해 무수히 얇은 원판이나 원통껍질을 쌓아 올린 누적합으로 정의됩니다.

• 얇은 조각 하나의 부피를 구하고, 이를 $\Delta x\to0$일 때 $\int$로 합산
• 원판법과 와셔법은 얇은 원판(두께 $\Delta x$)을 겹치듯 쌓는 방법
• 원통껍질법은 얇은 원통껍질(두께 $\Delta x$)을 겹치듯 포개는 방법

이를 정식으로 쓰면,
$$
V = \lim_{\Delta x_i\to0} \sum (\text{조각 부피})
= \int_a^b (\text{미소 부피}),dx.
$$

---

원판법 (Disk Method)

원판법 정의 및 공식

함수 $y=f(x)\ge0$가 $x$축 위에 있을 때, 구간 $[a,b]$에서 $x$축을 축으로 회전시키면 생기는 부피를 원판법으로 구합니다.

• 얇은 조각을 $x$축에 수직한 원판(disk)으로 근사
• 반지름 $r=f(x)$, 두께 $dx$ 인 원판의 부피: $$dV = \pi\bigl(f(x)\bigr)^2,dx$$
• 전체 부피:
  $$
  V = \int_a^b \pi\bigl(f(x)\bigr)^2,dx.
  $$

유도 원리

1. $[x,x+Δx]$ 구간에서 곡선 아래 영역을 원판 형태로 근사
2. 원판 부피 $\approx \pi r^2 Δx$ ($r=f(x)$)
3. $\Delta x\to0$ 하면 $\displaystyle V=\int_a^b\pi f(x)^2,dx$

사용 조건

• 회전축이 구간 내 함수의 정의역에 접근하는 축 (예: $x$축)
• 회전 축과 곡선 사이 거리가 한값으로 표현 가능할 때

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와셔법 (Washer Method)

와셔법 정의 및 공식

함수 $y=f(x)\ge0$와 $y=g(x)\ge0$ 두 곡선 사이 영역을 $x$축을 중심으로 회전시킬 때, 와셔(washer) 형태로 부피를 구합니다.

• 얇은 조각 하나는 얇은 도넛(와셔)
• 바깥 반지름 $R=f(x)$, 안쪽 반지름 $r=g(x)$, 두께 $dx$
• 와셔 부피: $$dV = \pi\bigl[f(x)^2 - g(x)^2\bigr],dx$$
• 전체 부피:
  $$
  V = \int_a^b \pi\bigl[f(x)^2 - g(x)^2\bigr],dx.
  $$

유도 원리

1. $[x,x+Δx]$에서 회전된 바깥 원판 부피 $\pi f^2Δx$
2. 같은 구간의 안쪽 구멍 원판 부피 $\pi g^2Δx$
3. 차이가 와셔 부피 → $\int(\pi f^2 - \pi g^2),dx$

사용 조건

• 회전축이 두 곡선 모두에 평행하거나 접근
• 영역 위·아래 경계가 함수로 표현 가능할 때

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원통껍질법 (Cylindrical Shell Method)

원통껍질법 정의 및 공식

함수 $y=f(x)\ge0$에서 $x$축이 아닌, 세로 방향 축(예: $y$축)을 기준으로 회전시킬 때 주로 사용합니다.

• 얇은 조각을 원통껍질(shell) 형태로 근사
• $x$축이 아닌 $y$축 회전 시:
  • 반경 $r = x$, 높이 $h = f(x)$, 두께 $dx$인 얇은 원통껍질
  • 원통껍질 부피: $$dV = 2\pi x,f(x),dx$$
• 전체 부피:
  $$
  V = \int_a^b 2\pi x,f(x),dx.
  $$

유도 원리

1. $x$축이 아닌 $y$축을 중심으로 회전하면, 각 $x$ 위치에서 원통의 반지
2. 부피 $=$ 겉넓이($2\pi r h$) × 두께($dx$)
3. 극한하여 $\int 2\pi x f(x),dx$

사용 조건

• 회전축이 $y$축(또는 $x=c$)처럼 수직 방향일 때
• 곡선과 축 사이 거리가 $x$로 표현 가능할 때

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세 방법 비교 및 선택 기준

적용 예시 비교

방법	공식	회전축	형태
원판법	$\displaystyle \int_a^b \pi f(x)^2,dx$	$x$축 등	Solid disk
와셔법	$\displaystyle \int_a^b \pi\bigl[f(x)^2-g(x)^2\bigr],dx$	$x$축 등	Washer (donut)
원통껍질법	$\displaystyle \int_a^b 2\pi x f(x),dx$	$y$축 등	Cylindrical shell

선택 기준

1. 회전축 방향:
   • 회전축이 가로축이면 원판·와셔법
   • 회전축이 세로축이면 원통껍질법이 자연스러움
2. 함수 표현 방식:
   • $y=f(x)$로 표현할 때 원판·원통껍질법
   • $x=g(y)$로 표현할 때 회전축이 $x$축이면 원통껍질법 활용
3. 계산의 간편성:
   • 원판법은 단일 함수
   • 와셔법은 두 함수 차이
   • 원통껍질법은 겉넓이 × 두께

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대표 예제

원판법 예제

$$V = \int_0^2 \pi(2x - x^2)^2,dx$$ 는 곡선 $y=2x-x^2$ 아래 영역을 $x$축 회전.

와셔법 예제

곡선 $y=x$과 $y=x^2$ 사이 영역($0\le x\le1$)을 $x$축 회전:
$$V = \int_0^1 \pi\bigl[x^2 - (x^2)^2\bigr],dx = \pi\int_0^1 (x^2 - x^4),dx.$$

원통껍질법 예제

곡선 $y=\sqrt{x}$ ($0\le x\le1$)을 $y$축 회전:
$$V = \int_0^1 2\pi x\sqrt{x},dx = 2\pi\int_0^1 x^{3/2},dx.$$

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결론

• 원판법: 회전축이 함수 아래 영역을 solid disk로 쌓을 때
• 와셔법: 영역에 구멍이 있을 때 donut 형태로 빼서 계산
• 원통껍질법: 회전축이 수직이고 shell 형태로 감쌀 때

회전체 부피 계산 시 축의 방향, 함수의 표현 방식, 계산의 용이성을 고려하여 적절한 방법을 선택하면, 복잡한 입체 부피도 빠르게 구할 수 있습니다. 오늘 정리한 공식과 비교표, 예제를 충분히 연습하여 회전체 부피 계산의 끝판왕이 되시기 바랍니다.