적분 면적 계산 끝판왕: 이상·이하 주피 전략

적분 면적 계산 끝판왕: 상합·하합 전략

함수 $f(x)$가 정의역 $[a,b]$ 위에서 그리는 곡선 아래 면적을 구하는 것은, 단순히 $\int_a^b f(x),dx$ 공식을 외우는 것을 넘어 상합(上和)과 하합(下和), 즉 리만합(Riemann Sum) 전략을 이해해야만 완벽하게 해결할 수 있습니다. 특히 복잡한 함수나 불연속점을 포함한 구간에서도, 상합과 하합이 점점 일치하는 과정을 이용해 면적을 엄밀히 정의하고 계산하는 방법을 터득하면 “끝판왕”이 될 수 있습니다.

이 글에서는

1. 정적분의 리만합 정의
2. 상합과 하합의 개념 및 계산 방법
3. 상합·하합 극한 일치 조건(다르부 정리)
4. 구간 분할과 샘플점 선택 전략
5. 대표 예제와 실전 팁

순으로 정리하여, 어떤 함수라도 체계적으로 면적을 구할 수 있는 상합·하합 전략을 소개합니다.

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리만합(Riemann Sum) 정의 이해

구간 $[a,b]$를 작은 구간으로 분할하고, 각 구간에서 함수값에 구간 길이를 곱한 뒤 합을 취하는 과정을 통해 면적을 근사합니다.

구간 분할

• $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 로 분할
• 각 구간 길이: $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$
• 분할의 크기 $|\Delta| = \max_i \Delta x_i$

리만합 공식

• 하합(lower sum):
  $$s(f,P) = \sum_{i=1}^n \inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x),\Delta x_i. $$
• 상합(upper sum):
  $$S(f,P) = \sum_{i=1}^n \sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x),\Delta x_i. $$
• 분할 $P$를 더 고르게 만들수록 $s(f,P)$는 증가하고, $S(f,P)$는 감소합니다.

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상합·하합 극한 일치 조건

리만 적분 가능하려면, 모든 분할에 대해 상합과 하합이 같아지는 극한이 존재해야 합니다.

다르부(Darboux) 정리

함수 $f$가 구간 $[a,b]$ 위에서 연속이면,
$$
\lim_{|\Delta|\to0} s(f,P) = \lim_{|\Delta|\to0} S(f,P) = \int_a^b f(x),dx.
$$

• 직관: 분할을 촘촘히 하면, 상합은 곡선과 위에서 점점 다가가고, 하합은 곡선과 아래에서 점점 다가와 결국 일치합니다.

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샘플점 선택 전략

리만합에서 표본점 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$ 선택 방법에 따라 근사의 효율이 달라집니다.

왼쪽ㆍ오른쪽 사각법

• 왼쪽 사각법: $\xi_i = x_{i-1}$ → 하합 또는 과소추정
• 오른쪽 사각법: $\xi_i = x_i$ → 상합 또는 과대추정

중점 사각법

• 중점: $\xi_i = \tfrac{x_{i-1}+x_i}{2}$ → 오차 상쇄 효과
• 분할 크기가 같을 때 오차가 $O(|\Delta|^2)$로 줄어듭니다.

극대·극소점 선택

• 연속 구간에서 $f$가 단조 증가하면 왼쪽 사각법이 하합, 오른쪽 사각법이 상합
• 단조 감소면 그 반대
• 불연속 구간이나 변곡점 근처는 더욱 촘촘히 분할

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대표 예제: $f(x)=x^2$ 면적 계산

1. 구간 분할

• $[0,1]$을 $n$등분: $x_i = i/n,;\Delta x=1/n$

2. 하합과 상합

• 하합: $\inf_{[x_{i-1},x_i]}x^2 = (x_{i-1})^2 = \bigl(\tfrac{i-1}{n}\bigr)^2$

$$
s_n = \sum_{i=1}^n \bigl(\tfrac{i-1}{n}\bigr)^2\frac1n
= \frac1{n^3}\sum_{i=0}^{n-1}i^2
= \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}
$$

• 상합: $\sup_{[x_{i-1},x_i]}x^2 = (x_i)^2 = \bigl(\tfrac{i}{n}\bigr)^2$

$$
S_n = \frac1{n^3}\sum_{i=1}^n i^2
= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
$$

3. 극한 계산

• $\lim_{n\to\infty}s_n = \lim_{n\to\infty}S_n = \frac16$
• 따라서
  $$
  \int_0^1 x^2,dx = \frac{1}{3}.
  $$

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실전 팁

1. 함수 단조 구간 파악: 단조 구간마다 상·하합 공식을 단순화
2. 분할 균등 vs. 비균등: 불연속점이나 변곡점 주변은 비균등 분할로 오차 최소화
3. 중점 사각법 우선: 빠른 수치 근사 시 중점이 효율적
4. 파이프라인 구축:
   • 구간 분할 → 표본점 정의 → 상·하합 수식 전개 → 극한식 단순화 → 적분값 확인

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결론

상합·하합 전략은 적분 면적 계산의 근본입니다. 구간을 촘촘히 분할하고 상합과 하합이 일치하는 극한값을 구하는 과정을 마스터하면, 단순 공차 분할부터 불연속·비선형 함수까지 모든 면적 계산 문제에 자신감을 얻을 수 있습니다. 오늘 소개한 리만합 정의, 샘플점 전략, 대표 예제를 충분히 익히시고, 직접 다양한 함수를 대상으로 연습해 보시기 바랍니다.