미분을 이용한 부등식 증명 BEST 10

미분을 이용한 부등식 증명 BEST 10

부등식은 수학적 사고의 정수이며, 미분을 활용하면 함수의 기울기와 변곡 성질을 이용해 간결하면서도 강력한 증명이 가능합니다.

이 글에서는 고등수준에서 자주 등장하는 10가지 부등식을 엄선하여, 극한·도함수 정의를 바탕으로 단계별 증명 과정을 제시합니다. 각 부등식의 핵심 아이디어를 익히면, 어떠한 미분 기반 부등식 문제도 자신 있게 해결할 수 있습니다.

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1. $e^x \ge 1 + x$

증명:
함수 $f(x)=e^x - x -1$을 정의하면,
$$
f'(x)=e^x -1,\quad f''(x)=e^x>0.
$$

• $f'(x)=0$은 $x=0$에서만 성립.
• $f''(x)>0$이므로 $f'(x)$는 단조증가, 따라서
  • $x<0$ 구간에서는 $f'(x)<0$ → $f$ 감소
  • $x>0$ 구간에서는 $f'(x)>0$ → $f$ 증가
• 기저값 $f(0)=0$이 최소이므로, 임의의 $x$에서
  $$
  f(x)\ge0
  \quad\Longrightarrow\quad
  e^x \ge 1 + x.
  $$

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2. $\ln(1+x) \le x$ $(x>-1)$

증명:
함수 $g(x)=x - \ln(1+x)$에 대하여
$$
g'(x)=1 - \frac1{1+x}=\frac{x}{1+x},\quad
g''(x)=\frac1{(1+x)^2}>0.
$$

• $g''(x)>0$이므로 $g'$는 단조증가.
• $g'(x)=0$은 $x=0$에서 성립.
• $g(0)=0$이 전역 최소점이므로
  $$
  g(x)\ge0
  \quad\Longrightarrow\quad
  \ln(1+x)\le x.
  $$

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3. $(1+x)^n \ge 1 + nx$ $(n\in\mathbb{N}, x>-1)$

증명:
함수 $h(x)=(1+x)^n - nx -1$에 대하여
$$
h'(x)=n(1+x)^{n-1}-n
=n\bigl((1+x)^{n-1}-1\bigr).
$$

• $h'(x)=0$ 은 $x=0$에서만 성립하고,
• $\frac{d}{dx}(h'(x))=n(n-1)(1+x)^{n-2}>0$이므로 $h'$는 단조증가.
• $h(0)=0$이 전역 최소이므로 $h(x)\ge0$, 즉
  $$
  (1+x)^n \ge 1 + nx.
  $$

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4. $\sin x \le x$ $(x\ge0)$

증명:
함수 $p(x)=x-\sin x$에 대하여
$$
p'(x)=1-\cos x,\quad
p''(x)=\sin x\ge0;(x\ge0).
$$

• $p''(x)\ge0$이므로 $p'$는 단조증가.
• $p'(0)=0$이 최소, $p(0)=0$이 전역 최소이므로
  $$
  p(x)\ge0
  \quad\Longrightarrow\quad
  \sin x\le x.
  $$

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5. $\tan x \ge x$ $\bigl(0\le x<\tfrac\pi2\bigr)$

증명:
함수 $q(x)=\tan x - x$에 대해
$$
q'(x)=\sec^2 x -1=\tan^2 x\ge0,\quad
q(0)=0.
$$

• $q'(x)\ge0$이므로 $q$는 단조증가,
• 따라서 $q(x)\ge0$ → $\tan x\ge x$.

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6. $\ln x \le x-1$ $(x>0)$

증명:
함수 $r(x)=x-1-\ln x$에 대해
$$
r'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x},\quad
r''(x)=\frac1{x^2}>0.
$$

• $r''(x)>0$이므로 $r'$ 단조증가,
• $r'(1)=0,;r(1)=0$이 전역 최소 → $r(x)\ge0$, 즉
  $$
  \ln x \le x-1.
  $$

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7. $\dfrac{\sin x}{x} \le 1$ $(x\ne0)$

증명:
함수 $s(x)=\frac{\sin x}{x}$의 도함수
$$
s'(x)
=\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}.
$$
분자 $x\cos x - \sin x$를 함수 $u(x)$라 하면
$$
u'(x)=\cos x - x\sin x - \cos x = -x\sin x \le 0;(x\ge0),
$$
즉 $u$ 단조감소, $u(0)=0$ → $u(x)\le0$ → $s'(x)\le0$.
따라서 $s$는 단조감소, $\lim_{x\to0}s(x)=1$이 최대값 →
$$
\frac{\sin x}{x}\le1.
$$

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8. $\dfrac{x}{1+x} \le \ln(1+x)$ $(x>0)$

증명:
함수 $t(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$에 대하여
$$
t'(x)=\frac1{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}
=\frac{x}{(1+x)^2}\ge0,\quad t(0)=0.
$$

• $t'\ge0$이므로 $t$는 단조증가 → $t(x)\ge0$ →
  $$
  \frac{x}{1+x}\le\ln(1+x).
  $$

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9. $x^n - 1 \ge n(x-1)$ $(x\ge1,n\in\mathbb{N})$

증명:
함수 $u(x)=x^n - nx + (n-1)$에 대하여
$$
u'(x)=n x^{n-1}-n = n\bigl(x^{n-1}-1\bigr)\ge0;(x\ge1),\quad u(1)=0.
$$

• $u'\ge0$으로 $u$ 단조증가 → $u(x)\ge0$ →
  $$
  x^n -1 \ge n(x-1).
  $$

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10. $\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^x < e < \bigl(1+\tfrac1x\bigr)^{x+1}$ $(x>0)$

증명 개요:
함수 $v(x)=\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^x$와 $w(x)=\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^{x+1}$에 대하여,
$$
\lim_{x\to\infty}v(x)=\lim_{x\to\infty}w(x)=e
$$
를 알고,

• $v'(x)>0$, $w'(x)<0$임을 미분으로 확인하면
  $v$ 단조증가, $w$ 단조감소를 따르게 되고,
• 경계 $x→\infty$에서의 극한이 $e$이므로, 모든 $x>0$에서
  $$
  v(x)<e<w(x).
  $$

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