기하와 벡터평면벡터 기본 원리: 크기·방향·내적

평면벡터 기본 원리: 크기·방향·내적

벡터의 정의와 표현

벡터의 기하적 의미

벡터(Vector)란 크기(magnitude)와 방향(direction)을 동시에 가지는 유향 선분으로, 평면 위에서 방향과 길이만으로 위치와 상관없이 정의됩니다. 점 A에서 점 B로 향하는 유향 선분 $\overrightarrow{AB}$을 벡터 $\mathbf{v}$라 할 때,

• 크기는 선분 AB의 길이
• 방향은 A에서 B로 향하는 방향

좌표적 표현

평면의 직교 좌표계에서 벡터 $\mathbf{v}$를 표현할 때는, 한 점(보통 원점)에서 화살표가 가리키는 점 $(x,y)$를 대응시켜
$$
\mathbf{v} = \langle x,,y \rangle
$$
또는
$$
\mathbf{v} = x,\mathbf{i} + y,\mathbf{j}
$$
로 표기합니다. 여기서 $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$는 각각 $x$축, $y$축 방향의 단위벡터입니다.

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벡터의 크기

크기의 정의

벡터 $\mathbf{v} = \langle x,,y \rangle$의 크기(노름, norm)는 피타고라스 정리에 따라
$$
|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
$$
로 정의합니다. 이는 원점에서 점 $(x,y)$까지의 거리를 의미합니다.

거리 공식과 두 벡터 간 거리

두 벡터 $\mathbf{u} = \langle x_1,y_1 \rangle$, $\mathbf{v} = \langle x_2,y_2 \rangle$ 사이의 거리는
$$
|\mathbf{u} - \mathbf{v}|
= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
$$
이를 통해 점 A$(x_1,y_1)$와 점 B$(x_2,y_2)$ 사이의 거리를 벡터 연산으로도 계산할 수 있습니다.

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벡터의 방향

방향 각도(방향 벡터)

벡터 $\mathbf{v} = \langle x,,y \rangle$가 이루는 방향각 $\theta$는 양의 $x$축에서 시작하여 벡터 $\mathbf{v}$까지 반시계 방향으로 잰 각도이며,
$$
\theta = \begin{cases}
\arctan!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr), & x>0,\[4pt]
\arctan!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) + \pi, & x<0,\[4pt]
\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(y), & x=0,;y\neq0,
\end{cases}
$$
로 구합니다. 이때 $\operatorname{sgn}(y)$는 $y$의 부호 함수입니다.

단위벡터(unit vector)

벡터의 크기를 1로 정규화(normalize)한 벡터를 단위벡터라고 합니다.
$$
\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \biggl\langle \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \biggr\rangle.
$$
단위벡터는 순수한 방향 정보만 갖기 때문에, 벡터 성질 분석에 매우 유용합니다.

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벡터 내적(dot product)

내적의 정의와 기하학적 해석

두 벡터 $\mathbf{u}=\langle u_x,u_y\rangle$, $\mathbf{v}=\langle v_x,v_y\rangle$의 내적(스칼라곱)은
$$
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y.
$$
기하학적으로는
$$
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta,
$$
여기서 $\theta$는 두 벡터 사이의 사영각(projection angle) 입니다. 이 식을 통해 내적이 양수·음수·0일 때 벡터 사이 관계를 알 수 있습니다.

내적의 주요 성질

1. 교환법칙: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}$.
2. 분배법칙: $\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}$.
3. 스케일 변화: $(c\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} = c(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})$.

내적 응용: 직교성과 투영

• 직교성(orthogonality): $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0$ 이면 두 벡터는 수직(90°).
• 벡터 투영(vector projection): 벡터 $\mathbf{u}$를 $\mathbf{v}$ 방향으로 사영(projection)한 벡터
  $$
  \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}
  = \biggl(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\biggr)\mathbf{v}.
  $$
  이를 통해 직교 분해(orthogonal decomposition)도 수행할 수 있습니다.

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연습문제와 응용

기초 예제

• 예제 1: $\mathbf{u} = \langle 3,4\rangle$, $\mathbf{v}=\langle -2,5\rangle$ 일 때,
  1. $|\mathbf{u}|$, $|\mathbf{v}|$ 계산
  2. $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$, 두 벡터 사이 각도 $\theta$ 구하기
  3. $\mathbf{u}$를 $\mathbf{v}$ 방향으로 투영한 벡터

확장 응용

• 예제 2: 평면 위 세 점 A, B, C가 주어질 때, 벡터 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 를 이용하여 ∠BAC가 예각·직각·둔각 중 어느 경우인지 판정
• 예제 3: 두 벡터의 합과 차가 이루는 각을 내적으로 구하고, 평행사변형의 대각선 길이 구하기

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결론

평면벡터의 크기·방향·내적은 기하와 물리·공학·컴퓨터 그래픽 등 다양한 분야의 기본 언어입니다.

1. 크기: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^2+y^2}$
2. 방향: 방향각 $\theta$와 단위벡터 $\hat{\mathbf{v}}$
3. 내적: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_xv_x+u_yv_y=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta$

이 세 가지 원리를 충분히 숙지하시면, 벡터 방정식, 직선·면 방정식, 기하적 최적화 문제 등 고난도 문제도 체계적으로 해결할 수 있습니다. 오늘 제시한 예제와 연습문제를 반복 학습하여 벡터 개념을 완벽히 마스터하시기 바랍니다.