벡터의 평형·분해·합성 문제

벡터의 평형·분해·합성 문제 완전 정복

평면벡터를 다룰 때 “여러 개의 힘이 한 점에서 외력을 받지 않고 정지해 있다”는 평형(equilibrium) 개념, 서로 다른 방향의 벡터를 하나로 합치는 합성(composition), 그리고 하나의 벡터를 기준 축으로 나누는 분해(decomposition) 기법은 기하·물리·공학 문제에서 필수로 요구됩니다.

• 평형: 여러 벡터의 합이 영벡터가 될 때
• 합성: 두 벡터를 더해 새로운 벡터 구하기
• 분해: 벡터를 직교 혹은 임의 축으로 해체

이 글에서는 벡터 평형의 의미와 조건, 합성·분해 공식과 기하학적 해석, 실전 문제 해결 템플릿을 한 번에 정리합니다. 수능·모의고사에서 자주 나오는 유형을 다수 소개하여, 벡터 문제에 대한 자신감을 높이시기 바랍니다.

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벡터 평형

평형 조건과 의미

벡터의 평형이란 한 점에 작용하는 모든 벡터(힘)의 합이 영벡터가 되어 정적 평형을 이루는 상태입니다.

• 평형 조건:

$$\sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i = \mathbf{0}$$

• 힘 벡터뿐 아니라 속도, 가속도, 변위 등에도 동일하게 적용
• 평형 상태에서는 모멘트(토크) 까지 고려해야 완전 평형

힘의 평형 예시

• 단일 점에 작용하는 세 힘 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$가 평형일 때

$$\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} = \mathbf{0}$$

• 기하적으로는 평행사변형·삼각형법칙으로 벡터를 배치해 닫힌 도형을 만들면 평형
• 삼각형 평형법칙: $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{C}$ 일 때, 세 벡터 끝점이 삼각형을 이룹니다.

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벡터 합성

평행사변형 법칙

두 벡터 $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$의 합 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$는 평행사변형의 대각선으로 구합니다.

• 기하적 구성:
  1. $\mathbf{u}$를 원점에 그린 뒤
  2. $\mathbf{v}$를 $\mathbf{u}$의 끝점에서 같은 방향으로 그리기
  3. 평행사변형 완성 후 대각선을 원점에서 긋기
• 공식:
• $$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \langle u_x+v_x,;u_y+v_y\rangle.$$

사다리꼴 법칙

출발점이 다를 때도, 그림을 옮기지 않고 사다리꼴 모양으로 두 벡터를 그려 합성을 구할 수 있습니다.

• 성질: 이동 가능한 벡터의 평행이동 불변성
• 복잡한 위치 관계에서도 편리

합성 과정과 공식

1. 좌표 표현: $\mathbf{u}=\langle u_x,u_y\rangle$, $\mathbf{v}=\langle v_x,v_y\rangle$
2. 합성:

$$\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}=\langle u_x+v_x,;u_y+v_y\rangle.$$

3. 크기와 방향:
   • $|\mathbf{w}|=\sqrt{(u_x+v_x)^2+(u_y+v_y)^2}$
   • 방향각 $\theta=\arctan!\bigl(\tfrac{u_y+v_y}{u_x+v_x}\bigr)$

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벡터 분해

직교 성분 분해

벡터 $\mathbf{a}$를 서로 수직인 단위벡터 $\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}}$ 방향으로 분해하는 가장 기본 형태입니다.

• 공식:

$$\mathbf{a} = a_x,\hat{\mathbf{i}} + a_y,\hat{\mathbf{j}},\quad
a_x = \mathbf{a}\cdot\hat{\mathbf{i}},;a_y=\mathbf{a}\cdot\hat{\mathbf{j}}.$$

임의 축 성분 분해

어떤 축(단위벡터 $\hat{\mathbf{n}}$)으로 분해할 때는 투영 공식을 사용합니다.

• $\mathbf{a}$의 $\hat{\mathbf{n}}$ 방향 성분:

$$\mathbf{a}_{\parallel} = (\mathbf{a}\cdot\hat{\mathbf{n}}),\hat{\mathbf{n}}.$$

• 수직 성분:

$$\mathbf{a}{\perp} = \mathbf{a} - \mathbf{a}{\parallel}.$$

분해 과정 실전 팁

1. 투영 방향 단위벡터 $\hat{\mathbf{n}}$ 확인
2. 내적 계산으로 성분 크기 구함
3. 벡터 곱으로 방향 복원
4. 필요한 경우 다시 직교 좌표계로 변환

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문제 해결 전략

단계별 풀이 템플릿

1. 문제 유형 파악: 평형·합성·분해 중 무엇인가?
2. 좌표 또는 기하적 표시: 그림을 그려 벡터 관계 명확히
3. 수식화: 내적·합 공식·투영 공식을 활용해 방정식 세우기
4. 연립/계산: 미지 성분을 구하거나 평형 방정식 해
5. 최종 검산: 크기·방향이 의미상 맞는지 확인

자주 틀리는 포인트

• 단위벡터 방향 부호 실수
• 내적 공식($\cos$)과 합성 공식을 혼동
• 평형 문제에서 모든 벡터를 같은 기준점으로 옮겨 표현하지 않는 오류
• 투영 시 분모에 $|\hat{\mathbf{n}}|^2=1$ 조건 누락

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대표 예제 풀이

평형 문제 예제

세 개의 힘 $\mathbf{F}_1,\mathbf{F}_2$가 각각 길이 5, 7이고 사이각 60°로 작용할 때, 이 두 힘을 평형시키는 힘 $\mathbf{F}_3$의 크기와 방향 구하기.

1. $\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3=\mathbf{0}$
2. $\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 = -\mathbf{F}_3$ 이므로 합성 벡터 크기
   $$|\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2|
   =\sqrt{5^2+7^2+2\cdot5\cdot7\cos60°}
   =\sqrt{25+49+35}=\sqrt{109}.$$
3. 방향은 합성 벡터의 반대 방향, 즉 $\arctan!\bigl(\tfrac{F_{y}}{F_{x}}\bigr)+180°$ 로 결정.

합성·분해 복합 예제

벡터 $\mathbf{v}=\langle3,4\rangle$를 축 $\hat{\mathbf{n}}=\langle\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\rangle$ 방향으로 분해하고, 나머지 성분이 평형 블록을 이루도록 벡터를 하나 더 추가하라.

1. 투영:

$$\mathbf{v}_{\parallel}=(\mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{n}})\hat{\mathbf{n}}
=\bigl(\tfrac{3\sqrt3}{2}+2\bigr)\hat{\mathbf{n}}.$$

2. 수직 성분: $\mathbf{v}\perp=\mathbf{v}-\mathbf{v}{\parallel}$.
3. 평형 벡터: $\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_\perp+\mathbf{w}=\mathbf{0}\implies \mathbf{w}=-\mathbf{v}$.

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결론

• 평형: 벡터 합이 영벡터 → 닫힌 도형
• 합성: 평행사변형·사다리꼴법칙으로 좌표 합
• 분해: 내적·투영으로 성분 분리

이 세 가지를 기하학과 대수적으로 자유자재로 다루는 것이 벡터 문제의 핵심입니다. 오늘 제시한 전략, 공식, 예제를 반복 학습하여, 벡터의 평형·분해·합성 문제를 완벽히 마스터하세요.