경우의 수 이해법

경우의 수 이해법

많은 학생들이 경우의 수 문제를 풀 때 가장 먼저 떠올리는 것은 복잡한 수식입니다. 하지만 실제로 경우의 수는 공식보다는 상황을 정확하게 이해하고 차근차근 따져보는 것이 훨씬 더 중요합니다. 이 글에서는 공식이나 기호 없이, 실제 생활에 빗댄 설명과 직관적인 문제풀이 방식을 통해 경우의 수를 확실하게 이해하는 방법을 소개하겠습니다.

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경우의 수, 쉽게 말하면?

경우의 수란 어떤 일을 할 수 있는 모든 가능한 방법의 수입니다. 예를 들어 옷장에서 티셔츠 2벌, 바지 3벌이 있다면 오늘 입을 수 있는 조합은 몇 가지일까요? 티셔츠 한 벌을 고를 때마다 바지는 3가지 선택이 가능하므로, 총 조합은 2 × 3 = 6가지입니다. 그러나 이렇게 곱셈으로 계산하기 전에 우리는 상상할 수 있습니다.

• 흰 티 + 청바지
• 흰 티 + 검은 바지
• 흰 티 + 베이지 바지
• 회색 티 + 청바지
• 회색 티 + 검은 바지
• 회색 티 + 베이지 바지

이처럼 직접 조합을 그려보는 것도 좋은 연습입니다.

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어떤 상황에서는 어떻게 따져야 할까?

1. 선택만 하면 되는 경우: 더하기로 따진다

예를 들어, 점심으로 국수를 먹거나 혹은 볶음밥을 먹을 수 있다고 합시다. 국수는 3가지, 볶음밥은 2가지 종류가 있다면, 점심 메뉴는 총 몇 가지가 될까요?

• 국수 중 하나를 고르는 방법: 3가지
• 볶음밥 중 하나를 고르는 방법: 2가지
• 둘 중 하나만 고른다면? → 3 + 2 = 5가지

즉, ‘A 또는 B’처럼 둘 중 하나만 고를 때는 그냥 다 더하면 됩니다.

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2. 두 가지를 함께 골라야 할 때: 하나 고르고, 다음에 또 고른다

예를 들어 친구가 3명 있는데, 생일파티 초대장을 두 사람에게 보내고 싶다고 해봅시다. 누구를 부를 수 있는 경우는 몇 가지일까요?

• 첫 번째 사람을 고를 때 3가지 선택이 있습니다.
• 두 번째 사람은 이미 한 사람을 골랐으니 2가지가 남습니다.

하지만 여기서 중요한 건, ‘누가 먼저 왔는지’ 중요하지 않다는 점입니다. 즉, A와 B가 오든, B와 A가 오든, 같은 조합이니까 중복입니다.

이럴 땐 같은 조합을 두 번 세지 않게 조심해야 합니다.
→ A-B, A-C, B-C 이렇게 세 조합이 전부입니다.

이처럼 ‘순서가 상관없다면’ 실제 가능한 조합을 직접 나열하면서 겹치는 것이 없는지 따져보는 게 정확합니다.

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3. 순서가 중요할 때: 나열 순서까지 따진다

이번엔 다섯 명이 줄을 서야 한다고 가정해봅시다. 일렬로 서는 거니까 누가 앞에 서는지가 중요하겠죠?

• 첫 번째 자리에 누구나 설 수 있습니다. 5명 중 한 명
• 두 번째 자리에는 남은 4명 중 한 명
• 세 번째 자리는 남은 3명 중 한 명
  ...

이렇게 순서대로 고를 때는 앞자리부터 누구를 고를 수 있는지 차례차례 따져보는 방식이 핵심입니다. 단순하게 말하면, 맨 앞자리를 고를 수 있는 선택지 × 그다음 자리 선택지 × … 이런 식으로 곱하는 것입니다.

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4. 조건이 주어진 경우는 조건부터 해결

문제를 푸는 데 있어 가장 헷갈리는 부분은 조건이 붙는 경우입니다.

예를 들어, 5명 중에서 3명을 뽑아 조를 만들고 싶은데, 그중 한 명인 A는 반드시 포함되어야 한다면?

이럴 땐 이렇게 따집니다.

1. A는 무조건 포함되므로 고정입니다.
2. 나머지 인원은 B, C, D, E 네 명인데, 이 중에서 2명만 더 고르면 됩니다.
3. 그러면 가능한 조합은
   • A, B, C
   • A, B, D
   • A, B, E
   • A, C, D
   • A, C, E
   • A, D, E

→ 총 6가지 조합이 가능하다는 걸 직접 써보면 알 수 있습니다.

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5. 중복이 가능할 때는 따지는 방식이 달라진다

예를 들어 0부터 9까지 숫자 중에서 3자리를 뽑아 번호를 만들되, 같은 숫자를 써도 된다고 한다면?

이때는 각 자리마다 항상 10가지 선택이 가능합니다.

• 첫 번째 자리: 10가지
• 두 번째 자리: 10가지
• 세 번째 자리: 10가지

총 몇 가지 번호가 가능한지 묻는다면 그냥 10을 3번 곱하면 됩니다.

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6. 특정 자리나 요소에 제한이 있는 경우

다음 예제를 생각해봅시다.
세 자리 숫자를 만들되, 맨 앞자리는 0이 될 수 없다.
가능한 경우의 수는?

• 맨 앞자리는 1~9 → 9가지
• 나머지 두 자리는 0~9 → 각 자리마다 10가지씩
  → 총 가능한 숫자는 9 × 10 × 10 = 900가지입니다.

이런 식으로 문제 조건을 먼저 읽고, 그 제한을 고려해서 각 자리마다 가능한 선택 수를 따져보는 것이 포인트입니다.

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경우의 수 문제, 어떤 순서로 접근할까?

1. 문제에서 요구하는 것이 무엇인지 정확히 파악합니다. (몇 명을 뽑는가? 순서가 중요한가?)
2. 조건이 있는지 확인합니다. (반드시 포함되거나, 중복 가능하거나, 특정 자리에 제한이 있는가?)
3. 하나하나 가능한 방법을 머릿속으로 혹은 종이에 적어가며 따져봅니다.
4. 비슷한 조합이 반복되지 않도록 중복 여부를 체크합니다.
5. 복잡해 보이는 문제도 상황을 쪼개어 작은 문제로 나누면 풀 수 있습니다.

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글을 마치며

경우의 수는 외워서 푸는 것이 아니라, 이해해서 풀어야 실력이 늘어납니다. 복잡한 수식을 무작정 외우기보다 직관적으로 따져보는 힘을 키우는 것이 더 중요합니다. 생활 속에서 종종 마주치는 선택 상황을 문제처럼 풀어보는 습관이 있다면, 수학이 더 이상 낯설지 않을 것입니다.

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