적분을 활용한 부등식·방정식 해법

적분을 활용한 부등식·방정식 해법

적분은 면적을 구하는 도구를 넘어, 함수에 얽힌 부등식과 방정식을 강력하게 풀어내는 열쇠입니다.

이 글에서는

1. 적분을 통해 간결하게 증명할 수 있는 대표적 부등식
2. 적분식을 이용해 해를 구하는 방정식
3. 각 기법의 핵심 전략과 실전 예제

를 단계별로 소개하여, 미적분 지식을 한층 응용력 있게 활용하는 방법을 제시합니다.

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적분으로 푸는 부등식

$e^x\ge1+x$ 증명

1. 함수 정의: $f(x)=e^x-(1+x)$.
2. 미분: $f'(x)=e^x-1,;f''(x)=e^x>0$.
3. $f'(x)=0\iff x=0$, $f(0)=0$ 이 전역 최소이므로 $f(x)\ge0$.
4. 결론: $$e^x\ge1+x\quad\forall x\in\mathbb R.$$

$\ln(1+x)\le x$ 증명 ($x>-1$)

1. $g(x)=x-\ln(1+x)$ 정의.
2. $g'(x)=\tfrac{x}{1+x},;g''(x)=\tfrac1{(1+x)^2}>0$.
3. $g'(0)=0,;g(0)=0$ 이 최소 → $g(x)\ge0$.
4. 결론: $$\ln(1+x)\le x\quad(x>-1).$$

$\displaystyle \int_0^1 x^n,dx=\frac1{n+1}<\frac1n$ ($n\ge2$)

1. 직접 계산: $\int_0^1x^n,dx=1/(n+1)$.
2. 명백히 $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$ 이므로
   $$\int_0^1 x^n,dx<\frac1n.$$

$\sin x\le x$ 증명 ($x\ge0$)

1. $h(x)=x-\sin x,;h'(x)=1-\cos x\ge0$ for $x\ge0$.
2. $h(0)=0$ 이 최소 → $h(x)\ge0$.
3. 결론:

$$\sin x\le x\quad(x\ge0).$$

평균값 정리 응용 부등식

1. 연속함수 $f$ 에 대해
   $$\int_a^b f(x),dx=(b-a)f(c)$$
   를 이용하여, 예컨대 $f(x)=x^2$ 에서
   $$\int_0^1 x^2,dx=f(c)\implies f(c)=\tfrac13,;c=\tfrac1{\sqrt3}.$$
2. 즉, 구간의 평균 함수값으로 부등식이나 방정식 해를 유도할 수 있습니다.

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적분으로 푸는 방정식

지수적분 방정식

문제: $\displaystyle\int_0^x e^t,dt=1$ 의 해 $x$ 구하기.

1. 적분: $\int_0^x e^t,dt=e^x-1$.
2. 방정식: $e^x-1=1\implies e^x=2\implies x=\ln2$.

아크탄젠트 방정식

문제: $\displaystyle\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=\frac{\pi}{4}$ 의 해.

1. 적분: $\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=\arctan x$.
2. 방정식: $\arctan x=\pi/4\implies x=1$.

거듭제곱 방정식

문제: $\displaystyle\int_0^x t^n,dt=\tfrac12$ ($n\in\mathbb N$) 의 해.

1. 적분: $x^{n+1}/(n+1)=1/2$.
2. $x^{n+1}=\tfrac{n+1}2\implies x=\bigl(\tfrac{n+1}2\bigr)^{1/(n+1)}$.

일반 역함수 방정식

문제: $F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t),dt=g(x)$ 꼴의 방정식 해법

1. 방정식 $F(x)-g(x)=0$ 로 재정의.
2. 미분: $F'(x)-g'(x)=f(x)-g'(x)=0$.
3. 해 후보를 찾은 뒤, 원래 방정식에 대입 확인.

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종합 전략 및 팁

1. 함수 형태 파악: 부등식인지 방정식인지, 함수 연속·단조 여부 확인.
2. 적분 직접 계산: 기본공식(지수·로그·아크탄젠트 등) 활용.
3. 미분·평균값 정리: 부등식은 도함수 부호판별, 평균값 정리로 위치 보장.
4. 역함수·치환: 방정식 해를 위해 역함수(로그·아크탄젠트) 적용.

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결론

• 부등식: $e^x\ge1+x$, $\ln(1+x)\le x$, $\sin x\le x$ 등은 적분·미분으로 깔끔히 증명.
• 방정식: $\int_0^x e^t,dt=1\implies x=\ln2$, $\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=\pi/4\implies x=1$ 등 기본 적분 공식으로 해를 구함.

적분을 “면적 계산” 도구를 넘어 부등식·방정식 해법으로 확장하면, 미적분 활용 폭이 크게 넓어집니다. 오늘 정리한 기법과 예제를 충분히 연습하여, 다양한 문제에 도전해 보시기 바랍니다.