부분분수·삼각치환 문제 총정리

부분분수·삼각치환 문제 총정리

부정적분에서의 부분분수 분해 기법

부분분수·삼각치환 개념 및 절차

1. 분수의 차수 비교
   • 분자 차수가 분모 차수 이상인 경우, 다항식 나눗셈으로 차수를 낮춘 뒤 진행.
2. 분모 인수분해
   • 실수 인수(일차식)끼리, 혹은 irreducible 이차식(판별식<0)으로 인수분해.
3. 부분분수 형태 설정
   • 일차 인수 $(x-a)$ 에 대해서는 $\displaystyle \frac{A}{x-a}$
   • 중복근 $(x-a)^k$ 에 대해서는 $\displaystyle \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$
   • 이차 인수 $(x^2+px+q)$ 에 대해서는 $\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+px+q}$
4. 계수 비교 또는 값 대입
   • 분자 양변 전개 후 동류항 계수 비교
   • 또는 $x$ 에 특정 값 대입(일차 인수일 때)
5. 각 항의 부정적분 계산
   • $\displaystyle \int \frac{A}{x-a},dx = A\ln|x-a| + C$
   • $\displaystyle \int \frac{Bx+C}{x^2+px+q},dx$ 는 치환 또는 $\ln$·$\arctan$ 공식을 이용

부분분수·삼각치환 기본 유형 예시

• 예제 1
  $$
  \int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)},dx
  $$
  1. 설정: $\displaystyle \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$.
  2. $3x+5 = A(x+2) + B(x-1)$.
  3. $x=1\implies3+5= A\cdot3\implies A=\tfrac{8}{3}$.
     $x=-2\implies -6+5 = B\cdot(-3)\implies B=\tfrac{1}{3}$.
  4. 적분:

$$
\frac{8}{3}\ln|x-1| + \frac{1}{3}\ln|x+2| + C.
$$

• 예제 2 (중복근)
  $$
  \int \frac{x^2}{(x-1)^2(x+1)},dx
  $$
  1. 설정: $\displaystyle \frac{x^2}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+1}.$
  2. 전개 후 계수 비교 또는 $x$ 대입.
  3. 각 부분의 부정적분:
     $\displaystyle A\ln|x-1| - \frac{B}{x-1} + C\ln|x+1| + C.$

해결 전략 팁

• 차수 우선 낮추기: 분자 차수≥분모 차수일 땐 다항식 나눗셈
• 계수 비교 간소화: 일차 인수 대입법 활용
• 이차 인수: 분자 계수가 1차식 형태로 남았는지 확인

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삼각치환을 활용한 적분

치환 원리

다음 형태의 적분에서 루트(radical)를 없애기 위해 삼각함수 치환 사용:

1. $ \sqrt{a^2 - x^2} $ → $x = a\sin\theta$
2. $ \sqrt{a^2 + x^2} $ → $x = a\tan\theta$
3. $ \sqrt{x^2 - a^2} $ → $x = a\sec\theta$

치환 후:

• $dx$ 와 루트 표현을 삼각함수와 $\cos\theta$, $\sin\theta$로 변환
• 삼각함수 항을 정리해 $\sin$, $\cos$ 적분으로 바꿈
• 최종에 $\theta$ 대신 $x$로 되돌림

주요 치환 유형 예시

• 예제 3
  $$
  \int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}}
  $$
  치환: $x = 3\sin\theta,;dx = 3\cos\theta,d\theta$.
• $$
  \int \frac{3\cos\theta,d\theta}{\sqrt{9-9\sin^2\theta}}
  = \int d\theta
  = \theta + C
  = \arcsin\frac{x}{3} + C.
  $$
• 예제 4
  $$
  \int \sqrt{x^2+4},dx
  $$
  치환: $x=2\tan\theta,;dx=2\sec^2\theta,d\theta$.이후 $\sec^3$ 부분적분.
• $$
  \int \sqrt{4\tan^2\theta+4};2\sec^2\theta,d\theta
  = \int 2\sec\theta\cdot2\sec^2\theta,d\theta
  =4\int \sec^3\theta,d\theta,
  $$
• 예제 5
  $$
  \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}
  $$
  치환: $x=\sec\theta,;dx=\sec\theta\tan\theta,d\theta$.
  $$
  \int \frac{\sec\theta\tan\theta,d\theta}{\sec^2\theta\sqrt{\sec^2\theta-1}}
  = \int \frac{\sec\theta\tan\theta}{\sec^2\theta\tan\theta},d\theta
  = \int \cos\theta,d\theta
  = \sin\theta + C
  = \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} + C.
  $$

해결 전략 팁

• 루트 형태 직접 확인 후 치환 선택
• 치환 후 제약 범위(domain) 설정
• 치환된 삼각함수에서 표준 적분 공식 또는 부분적분 사용

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종합 문제 풀이 예제

예제 6 (혼합형)

$$
\int \frac{x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+4}},dx.
$$

1. 부분분수 분해 어려움 → 삼각치환 우선
2. 치환: $x=2\tan\theta$
3. 전개 후 부분분수 분해 또는 직접 삼각함수 적분
4. 최종 역치환

예제 7 (단계 결합)

$$
\int \frac{\ln(x)}{x^2\sqrt{1-\ln^2 x}},dx
$$

1. 치환: $u=\ln x$, $du=dx/x$.
2. 새로운 적분: $\displaystyle \int \frac{u}{x\sqrt{1-u^2}},du$
3. 부분분수 아니라 삼각치환: $u=\sin\theta$

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결론 및 팁 요약

• 부분분수
  1. 차수 낮추기(다항 나눗셈)
  2. 인수분해 → 형태 설정
  3. 계수 비교·값 대입 → 항별 적분
• 삼각치환
  1. 루트 형태 확인
  2. $x=a\sin\theta,,a\tan\theta,,a\sec\theta$ 중 선택
  3. $dx$ 와 $\sqrt{\cdots}$ 전환
  4. 삼각함수 적분 → 역치환

이 두 가지 기법은 서로 보완적이며, 복합된 적분 문제에서 반드시 결합해 사용해야 합니다. 충분히 연습하셔서 부정적분의 “끝판왕”이 되시길 바랍니다!

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