반응형 과학 생물 천체 공학 수학63 확률과 적분 연계 (연속확률변수 기초) 연속확률변수 기초: 확률과 적분의 만남확률론에서 연속확률변수(continuous random variable)는 이산확률변수와 달리, 특정한 값이 아닌 구간에 걸쳐 확률을 분포시킵니다. 이때 확률을 계산하기 위해 불가피하게 적분이 사용되며, 확률밀도함수(PDF)와 누적분포함수(CDF), 기댓값(expectation), 분산(variance) 등이 모두 적분으로 정의됩니다.본 포스팅에서는 연속확률변수의 핵심 개념과 수식 유도 과정을 적분 관점에서 살펴보겠습니다.확률밀도함수와 누적분포함수확률밀도함수(PDF) 정의연속확률변수 $X$에 대해, 확률밀도함수 $f(x)$는 다음 성질을 만족합니다.$f(x)\ge0$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x),dx =1$함수 $f(x.. 2025. 4. 30. 적분을 활용한 부등식·방정식 해법 적분을 활용한 부등식·방정식 해법적분은 면적을 구하는 도구를 넘어, 함수에 얽힌 부등식과 방정식을 강력하게 풀어내는 열쇠입니다.이 글에서는적분을 통해 간결하게 증명할 수 있는 대표적 부등식적분식을 이용해 해를 구하는 방정식각 기법의 핵심 전략과 실전 예제를 단계별로 소개하여, 미적분 지식을 한층 응용력 있게 활용하는 방법을 제시합니다.적분으로 푸는 부등식$e^x\ge1+x$ 증명함수 정의: $f(x)=e^x-(1+x)$.미분: $f'(x)=e^x-1,;f''(x)=e^x>0$.$f'(x)=0\iff x=0$, $f(0)=0$ 이 전역 최소이므로 $f(x)\ge0$.결론: $$e^x\ge1+x\quad\forall x\in\mathbb R.$$$\ln(1+x)\le x$ 증명 ($x>-1$)$g(x)=x-.. 2025. 4. 28. 부분분수·삼각치환 문제 총정리 부분분수·삼각치환 문제 총정리부정적분에서의 부분분수 분해 기법부분분수·삼각치환 개념 및 절차분수의 차수 비교분자 차수가 분모 차수 이상인 경우, 다항식 나눗셈으로 차수를 낮춘 뒤 진행.분모 인수분해실수 인수(일차식)끼리, 혹은 irreducible 이차식(판별식부분분수 형태 설정일차 인수 $(x-a)$ 에 대해서는 $\displaystyle \frac{A}{x-a}$중복근 $(x-a)^k$ 에 대해서는 $\displaystyle \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$이차 인수 $(x^2+px+q)$ 에 대해서는 $\displaystyle \frac{Bx + C}{x^2+px+q}$계수 비교 또는 값 대입분자 양변 전개 .. 2025. 4. 26. 부정적분에서 특수함수 (ln, arcsin) 처리 부정적분에서 특수함수 처리: $\ln x$와 $\arcsin x$ 집중 공략부정적분(원시함수 찾기)은 다항식이나 지수·삼각함수뿐 아니라, $\ln x$나 $\arcsin x$ 같은 특수함수의 적분 테크닉이 핵심입니다.이 글에서는$\int \ln x,dx$ 와 $\int \arcsin x,dx$ 의 유도 원리치환적분과 부분적분을 결합한 깔끔한 증명실전 활용 예제 및 응용 팁를 단계별로 살펴보겠습니다.$\displaystyle \int \ln x,dx$ 해법기본 아이디어$\ln x$ 는 멱함수 규칙으로 바로 적분할 수 없어, 부분적분을 적용해야 합니다.단계별 유도부분적분 공식을 기억합니다.$$\int u,dv = u,v - \int v,du.$$$u$ 와 $dv$ 를 선택합니다.$u = \ln x \quad.. 2025. 4. 24. 적분을 이용한 평균값·중심 정리 적분을 이용한 평균값·중심 정리적분은 단순히 곡선 아래 면적을 구하는 도구를 넘어, 함수의 평균값을 구하고, 도형이나 곡선의 중심(centroid, 무게중심)을 찾는 핵심 수단입니다.본 포스팅에서는 다음 두 가지 정리를 중심으로 다루겠습니다.적분을 이용한 평균값 정리(Mean Value Theorem for Integrals)적분을 이용한 중심 정리(Centroid Theorem)각 정리의 정의·증명·해석 과정을 살펴본 뒤, 실전 예제로 개념을 확실히 다지고, 물리적·기하학적 응용 사례를 통해 활용력을 기르실 수 있도록 구성했습니다.평균값 정리평균값 정리의 정의연속 함수 $f(x)$가 구간 $[a,b]$에서 연속일 때, 구간 전체의 평균값 $\bar f$는$$\bar f = \frac{1}{b-a}\in.. 2025. 4. 23. 길이·곡률·표면적 계산 실전 길이·곡률·표면적 계산 실전미적분학에서 곡선의 길이, 곡률(curvature), 그리고 회전체의 표면적(surface area)을 계산하는 방법은 공학·물리·건축·도로 설계 등 다양한 분야에서 핵심 도구로 쓰입니다.일반적인 정적분 계산과 달리, 이들 계산은 다음 세 가지 공식을 이해하고 적절히 적용하는 능력이 필요합니다.곡선 길이(arc length)평면 곡선 곡률(curvature)회전체 표면적(surface area of revolution)이 글에서는 이 세 가지 공식을 유도 원리와 함께 정리하고, 실제 예제를 통해 어떻게 적용하는지 단계별로 살펴보겠습니다.곡선 길이 공식매개변수 형태 곡선 길이곡선이 매개변수 형태$$x = x(t),\quad y = y(t),\quad t\in[a,b]$$로 주어질.. 2025. 4. 22. 회전체 부피 공식: 원통껍질·원판·와셔 비교 회전체 부피 공식 비교: 원통껍질법·원판법·와셔법회전체 부피의 기본 개념회전체란회전체는 평면 위에 있는 곡선이나 영역을 어떤 축을 기준으로 회전시켜서 얻어지는 입체를 말합니다. 예를 들어, 함수 $y=f(x)$가 $x$축을 기준으로 $a\le x\le b$ 구간에서 그려진 곡선을 회전하면, 그 곡선 아래 영역이 도넛처럼 회전하며 생성된 부피가 회전체 부피입니다.정적분과 기하학적 해석회전체의 부피 $V$는 극한 과정을 통해 무수히 얇은 원판이나 원통껍질을 쌓아 올린 누적합으로 정의됩니다.얇은 조각 하나의 부피를 구하고, 이를 $\Delta x\to0$일 때 $\int$로 합산원판법과 와셔법은 얇은 원판(두께 $\Delta x$)을 겹치듯 쌓는 방법원통껍질법은 얇은 원통껍질(두께 $\Delta x$)을 겹치.. 2025. 4. 20. 적분 면적 계산 끝판왕: 이상·이하 주피 전략 적분 면적 계산 끝판왕: 상합·하합 전략함수 $f(x)$가 정의역 $[a,b]$ 위에서 그리는 곡선 아래 면적을 구하는 것은, 단순히 $\int_a^b f(x),dx$ 공식을 외우는 것을 넘어 상합(上和)과 하합(下和), 즉 리만합(Riemann Sum) 전략을 이해해야만 완벽하게 해결할 수 있습니다.특히 복잡한 함수나 불연속점을 포함한 구간에서도, 상합과 하합이 점점 일치하는 과정을 이용해 면적을 엄밀히 정의하고 계산하는 방법을 터득하면 “끝판왕”이 될 수 있습니다.이 글에서는정적분의 리만합 정의상합과 하합의 개념 및 계산 방법상합·하합 극한 일치 조건(다르부 정리)구간 분할과 샘플점 선택 전략대표 예제와 실전 팁순으로 정리하여, 어떤 함수라도 체계적으로 면적을 구할 수 있는 상합·하합 전략을 소개합니.. 2025. 4. 19. 정적분 정의 & 적분법칙 증명 정적분 정의 및 기초 개념정적분의 의미정적분(定積分, definite integral)은 함수 $f(x)$가 구간 $[a,b]$ 위에서 만들어내는 넓이나 전체 누적량을 엄밀하게 정의하기 위한 도구입니다. 직관적으로는 구간 $[a,b]$ 위에 그린 곡선 아래 면적을 가리키지만, 보다 일반적으로는 물리적 누적량(거리·일·전하 등)이나 통계적 누적분포를 계산할 때도 사용됩니다.정적분은 리만 합(Riemann sum) 을 이용해 다음과 같이 정의됩니다.구간 $[a,b]$를 $n$개의 작은 구간으로 분할:$$a = x_0 \quad \Delta x_i = x_i - x_{i-1}.$$각 소구간 $[x_{i-1},x_i]$에서 임의의 표본점 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$를 선택.리만 합(Riemann .. 2025. 4. 18. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음 반응형
