반응형 과학 생물 천체 공학 수학63 구면·원뿔·원통의 단면 기하 구면·원뿔·원통의 단면 기하3차원 도형인 구면, 원뿔, 원통을 평면으로 자를 때 나타나는 단면(截面, cross-section) 은 기하학의 핵심 주제로, 물리·공학·컴퓨터 그래픽 등에서 자주 다루어집니다.구면은 어디서 잘라도 항상 원 또는 원점 대칭 타원을 만들고,원뿔은 각도에 따라 원·타원·포물선·쌍곡선 등 다채로운 이차곡선을 생성하며,원통은 평행·수직 단면에 따라 직사각형·원·타원을 나타냅니다.이 글에서는 각각의 도형이 평면과 만날 때 나타나는 단면의 형태를 정리하고, 주요 기하학적 성질과 응용 예제를 살펴보겠습니다.구면의 단면구면의 평면 단면: 원구면(반지름 $R$, 중심 $O$)을 임의의 평면으로 자르면, 잘린 평면 위에는 항상 원이 생깁니다.평면이 구면 중심 $O$를 지날 때: 지름 $2R$인.. 2025. 5. 21. 벡터를 활용한 삼각형 면적 및 사면체 체적 계산 가이드 벡터를 활용한 삼각형 면적 및 사면체 체적 계산 가이드삼각형 면적 계산의 기본 원리벡터와 기하적 해석벡터는 크기와 방향을 가진 유향 선분으로, 평면 기하 문제에서 두 변을 표현할 때 유용합니다. 삼각형 $ABC$의 두 변 $\overrightarrow{AB}$과 $\overrightarrow{AC}$를 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$라 할 때, 이 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이는 벡터의 외적(cross product) 크기로 구할 수 있습니다.외적을 이용한 면적 공식벡터 외적 정의이때 외적 $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$는로 정의되며, 그 크기는($\theta$는 두 벡터 사이 각도)입니다.$$|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mat.. 2025. 5. 18. 직선·평면 방정식 총망라 직선·평면 방정식 총망라공간 기하에서 직선과 평면의 방정식은 벡터 연산과 결합해 다양한 형태로 표현할 수 있습니다. 이들을 자유자재로 전환·응용하면, 위치·거리·교점·각도 등을 깔끔하게 계산할 수 있습니다.본 포스팅에서는 2D·3D 직선과 평면의 모든 대표 방정식을 한눈에 살펴보고, 각 식의 유도 원리와 용도를 정리합니다.직선 방정식벡터(♣)·매개변수 형태2차원$$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t,\mathbf{d},\quad t\in\mathbb{R}$$$\mathbf{r}_0$: 직선 위 한 점의 위치벡터$\mathbf{d}$: 방향벡터3차원$$(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t,(a,b,c).$$연속·대칭(대칭·표준) 형태2차원$$\frac{x - x_0}{d.. 2025. 5. 16. 공간벡터 및 3차원 좌표 기본 공간벡터 및 3차원 좌표 기본공간벡터와 3차원 좌표계는 공학·물리·컴퓨터 그래픽 등 다양한 분야에서 필수적인 도구입니다. 2차원 평면벡터에서 습득한 개념을 확장해, 3차원 공간에서의 위치·방향·면·직선 등 복잡한 기하 구조를 벡터로 깔끔하게 해석할 수 있습니다.이 글에서는3차원 직교좌표계와 벡터 표현공간벡터의 덧셈·스칼라배·내적·외적벡터 방정식으로 직선·평면 표현거리·면적·체적 계산 기초를 차례대로 살펴보고, 실전 문제 풀이 팁을 드리겠습니다.3차원 직교좌표계와 벡터 표현좌표축과 기저벡터3차원 공간에서는 서로 수직인 세 축을 설정합니다.$x$축: 단위벡터 $\mathbf{i}=(1,0,0)$$y$축: 단위벡터 $\mathbf{j}=(0,1,0)$$z$축: 단위벡터 $\mathbf{k}=(0,0,1)$이 .. 2025. 5. 13. 루트 개념 정리: 제곱근, 실수, 음수 루트까지 완벽 정리 루트 개념 정리: 제곱근, 실수, 음수 루트까지 완벽 정리√ 기호는 ‘루트(root)’라고 읽으며, 본래는 ‘어떤 수의 제곱근’을 나타냅니다. 예를 들어 √4는 2의 제곱인 4의 제곱근이므로 2가 됩니다. 이때 2는 2 × 2 = 4를 만족하므로 √4 = 2라고 쓸 수 있습니다. ‘루트’라는 말은 영어의 root에서 유래했으며, 이는 ‘뿌리’라는 뜻을 가지고 있죠. 마치 어떤 수의 ‘뿌리’를 파헤쳐 본다는 개념으로 접근하면 쉽게 이해할 수 있습니다.이처럼 루트 개념 정리의 시작은 제곱근의 개념에서 비롯되며, 이는 수학에서 실수를 분류하거나 계산할 때 매우 중요한 역할을 합니다.제곱근이란 무엇인가?제곱근이란 어떤 수를 제곱해서 얻어진 값을 다시 제곱하기 전 상태로 되돌리는 연산입니다. 예를 들어, 9의 제.. 2025. 5. 11. 수학으로 밝혀낸 위작의 진실 수학으로 밝혀낸 위작의 진실미술 작품의 진위 여부를 가리는 문제는 예술계에서 오래도록 논란이 되어왔습니다. 특히 그림이 창작자의 손을 거친 원본인지 아니면 다른 사람이 모방하거나 위조한 것인지를 판별하는 과정은 미술품 거래의 중요한 이슈입니다. 그러나 최근 수학적 접근 방식을 통해 위작을 판별하는 기술이 대두되고 있습니다.수학과 예술이 만나는 지점에서, 그림의 윤곽선이나 세부적인 요소들을 분석하여 그 진위를 밝혀내는 방법이 연구되고 있습니다. 이 글에서는 수학적으로 그림의 진위 여부를 판별하는 과정과 그 가능성에 대해 살펴보겠습니다.수학과 예술의 만남, 위작 판별을 위한 첫걸음미술 작품의 위작을 판별하는 데 있어 가장 중요한 요소 중 하나는 "모방"입니다. 원작자와 위작자가 그리는 스타일이나 방식에서 차.. 2025. 5. 8. 경우의 수 이해법 경우의 수 이해법많은 학생들이 경우의 수 문제를 풀 때 가장 먼저 떠올리는 것은 복잡한 수식입니다. 하지만 실제로 경우의 수는 공식보다는 상황을 정확하게 이해하고 차근차근 따져보는 것이 훨씬 더 중요합니다.이 글에서는 공식이나 기호 없이, 실제 생활에 빗댄 설명과 직관적인 문제풀이 방식을 통해 경우의 수를 확실하게 이해하는 방법을 소개하겠습니다.경우의 수, 쉽게 말하면?경우의 수란 어떤 일을 할 수 있는 모든 가능한 방법의 수입니다. 예를 들어 옷장에서 티셔츠 2벌, 바지 3벌이 있다면 오늘 입을 수 있는 조합은 몇 가지일까요? 티셔츠 한 벌을 고를 때마다 바지는 3가지 선택이 가능하므로, 총 조합은 2 × 3 = 6가지입니다. 그러나 이렇게 곱셈으로 계산하기 전에 우리는 상상할 수 있습니다.흰 티 + .. 2025. 5. 6. 벡터의 평형·분해·합성 문제 벡터의 평형·분해·합성 문제 완전 정복평면벡터를 다룰 때 “여러 개의 힘이 한 점에서 외력을 받지 않고 정지해 있다”는 평형(equilibrium) 개념, 서로 다른 방향의 벡터를 하나로 합치는 합성(composition), 그리고 하나의 벡터를 기준 축으로 나누는 분해(decomposition) 기법은 기하·물리·공학 문제에서 필수로 요구됩니다.평형: 여러 벡터의 합이 영벡터가 될 때합성: 두 벡터를 더해 새로운 벡터 구하기분해: 벡터를 직교 혹은 임의 축으로 해체이 글에서는 벡터 평형의 의미와 조건, 합성·분해 공식과 기하학적 해석, 실전 문제 해결 템플릿을 한 번에 정리합니다. 수능·모의고사에서 자주 나오는 유형을 다수 소개하여, 벡터 문제에 대한 자신감을 높이시기 바랍니다.벡터 평형평형 조건과 의.. 2025. 5. 4. 기하와 벡터평면벡터 기본 원리: 크기·방향·내적 평면벡터 기본 원리: 크기·방향·내적벡터의 정의와 표현벡터의 기하적 의미벡터(Vector)란 크기(magnitude)와 방향(direction)을 동시에 가지는 유향 선분으로, 평면 위에서 방향과 길이만으로 위치와 상관없이 정의됩니다. 점 A에서 점 B로 향하는 유향 선분 $\overrightarrow{AB}$을 벡터 $\mathbf{v}$라 할 때,크기는 선분 AB의 길이방향은 A에서 B로 향하는 방향좌표적 표현평면의 직교 좌표계에서 벡터 $\mathbf{v}$를 표현할 때는, 한 점(보통 원점)에서 화살표가 가리키는 점 $(x,y)$를 대응시켜$$\mathbf{v} = \langle x,,y \rangle$$또는$$\mathbf{v} = x,\mathbf{i} + y,\mathbf{j}$$로 표기합니.. 2025. 5. 2. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음 반응형
