반응형 과학 생물 천체 공학 수학63 연속확률변수와 확률밀도함수 연속확률변수와 확률밀도함수“실수 전체 구간에서 값을 취하는 확률 변수는 어떻게 다룰까?”동전처럼 결과가 ‘앞면·뒷면’으로 딱 떨어지는 이산 모형과 달리, 키·몸무게·온도·시간처럼 값이 연속적으로 변하는 현상은 셀 수 없이 많습니다. 이때 필요한 개념이 연속확률변수(Continuous Random Variable)와 그 행동을 정밀하게 묘사하는 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF)입니다.이번 글에서는 다음 흐름으로 연속확률모형을 완전 정리합니다.연속확률변수의 정의와 특징확률밀도함수의 성질누적분포함수와의 관계평균·분산·모멘트 계산 방법대표 분포 5종 완전 분석변수 변환과 합성 분포시각화·모델링 실전 팁자주 묻는 Q&A와 실수 방지 포인트글을 읽고 나면 ‘확률이 0인데 가.. 2025. 6. 13. 이산확률변수 평균·분산·모멘트 완전 정리 이산확률변수 평균·분산·모멘트 완전 정리이산확률변수는 결과가 셀 수 있는(정수형) 값으로 제한된 확률모형입니다. 동전 던지기, 주사위 눈, 결함품 개수, 웹 방문 횟수처럼 일상에서 자주 접하는 데이터가 대부분 이산형이기 때문에, 기초 통계에서 가장 먼저 배우는 영역이기도 합니다.이 글에서는 평균(기댓값), 분산, 모멘트를 중심으로 이산확률분포를 정리하고, 각 개념이 실전 분석에서 어떤 역할을 하는지를 살펴보겠습니다.1. 평균 - 분포의 ‘중심’을 한눈에정의$$\operatorname{E}[X]=\sum_{x}x;P(X=x)$$확률질량함수(PMF) 상 모든 값에 ‘확률 가중치’를 곱해 더한 값입니다.직관여러 번 실험했을 때 얻을 수 있는 장기적 평균.성질선형성: $\operatorname{E}[aX+b]=.. 2025. 6. 10. 독립·종속 사건과 베이즈 정리 독립·종속 사건과 베이즈 정리확률 문제를 어려워하는 가장 큰 이유는 사건 사이의 관계를 제대로 구분하지 못해서입니다. 두 사건이 독립인지 종속(의존)인지에 따라 계산식이 완전히 달라지고, 이를 잘못 판단하면 결과가 틀어집니다. 여기에 조건부 확률까지 얽히면 복잡도가 급격히 높아집니다. 이때 흐름을 단순화해 주는 것이 바로 베이즈 정리입니다.독립·종속 개념을 명확히 하고, 베이즈 정리로 정보를 업데이트하는 과정을 익히면 의학 통계·머신러닝·품질 관리 등 다양한 분야에서 문제를 해석할 수 있습니다.아래에서는독립 사건과 종속 사건의 정의독립성 판별 기법과 대표 예시종속 관계에서 조건부 확률 계산베이즈 정리 공식 유도와 직관실전 적용 사례와 실수 방지 포인트를 차례로 살펴봅니다.독립 사건이란?정의두 사건 A, .. 2025. 6. 8. 확률 기본 공식 완전 정리: 덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률 확률 기본 공식 완전 정리: 덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률확률 문제를 풀 때 공식은 단순히 ‘암기 과제’가 아니라 문제를 해석하고 구조화하는 언어입니다. 그중에서도 덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률은 모든 확률 계산의 뼈대가 되는 세 축입니다. 세 정리를 정확히 이해하면 초·중급 수준의 경우의 수 문제는 물론, 베이즈 정리나 통계적 독립성 같은 심화 개념도 쉽게 연결됩니다.이번 포스팅에서는 세 공식의 정의 → 직관 → 증명 스케치 → 실전 예제 → 실수 방지 포인트 순으로 정리해 드립니다.덧셈정리 - 합사건 확률의 계산1. 공식과 직관공식$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$직관두 사건 A, B가 동시에 일어나는 영역 $A \cap B$를 두 번 더하지 않도록 한 번 빼 준다.. 2025. 6. 5. 확률과 통계 경우의 수 완전 정리: 복합·배열·조합 노하우 확률과 통계 경우의 수 완전 정리: 복합·배열·조합 노하우경우의 수는 확률·통계 학습의 첫 관문이자, 수능·경시·코딩테스트까지 관통하는 핵심 도구입니다. 그런데 ‘순열·조합 공식만 외우면 끝’이라 생각했다가, 조건 · 중복 · 배치가 섞인 문제에서 막히는 경우가 많습니다.이번 글에서는 복합(combination of multiple stages)·배열(arrangement)·조합(combination)의 기본 공식을 재정리하고, 실전 노하우와 실수 방지 체크리스트를 함께 소개합니다. ─ 길지만 끝까지 읽고 나면, 복잡한 경우의 수 문제도 차분히 ‘쪼개고·세고·확인하는’ 습관이 자리 잡을 것입니다.1. 용어 클리어부터: 배열·조합·복합배열(순열, permutation)순서를 고려해 n개 중 r개를 배치하는.. 2025. 6. 3. 기하와 벡터 증명 베스트 문제 10선 기하와 벡터 증명 베스트 문제 10선수학Ⅰ·Ⅱ, 미적분, 기하 과목이 선택형으로 분리되면서 ‘벡터 증명’은 선택자의 전유물처럼 느껴지곤 합니다. 그렇지만 벡터는 도형의 성질을 깔끔하게 정리하고, 복잡한 기하적 관계를 한눈에 드러내 주는 강력한 언어입니다. 좌표 없이도 성분 계산만으로 중선·무게중심·내심·외심 등 핵심 개념을 증명할 수 있고, 삼각형·사면체·다각형으로 확장해도 기법이 크게 달라지지 않는다는 점이 매력적입니다.이번 글에서는 수험생·예비 교사·수학 동아리원 모두에게 도움이 될 만한 ‘기하와 벡터 증명 베스트 문제 10선’을 엄선했습니다. 각 문제는 ▲출제 빈도 ▲개념 통합도 ▲확장 가능성 세 가지 기준으로 고른 뒤, 문제 → 사고 순서 → 핵심 벡터 계산 → 결론 형식으로 풀어 봅니다. 풀이 .. 2025. 6. 1. 삼각형 중선·무게중심·외심·내심 벡터 풀이 삼각형 중선·무게중심·외심·내심 벡터 풀이벡터 기법은 좌표를 직접 다루지 않고도 삼각형의 기하·대수적 성질을 한꺼번에 파악할 수 있다는 장점이 있다. 특히 중선, 무게중심(centroid), 외심(circumcenter), 내심(incenter)은 모두 ‘점‒점 관계’를 벡터 내적·합·스칼라배로 표현하면 깔끔하게 증명된다.아래에서는 삼각형 $\triangle ABC$(위치벡터를 각각 a, b, c)를 두고 네 가지 요소를 순서대로 증명한다.1. 중선(Median)정의: 한 꼭짓점에서 반대편 변의 중점으로 이은 선분.중점 벡터변 $BC$의 중점 $M$ → $\mathbf{m}=\dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$중선 벡터식$AM$의 방향벡터: $\mathbf{m}-\mathbf{a}.. 2025. 5. 29. 원·타원·쌍곡선·포물선의 초점 기법 원·타원·쌍곡선·포물선의 초점 기법1. 기본 개념 정리원의 초점(중심)정의: 원은 모든 점이 중심 $O(h,k)$로부터 같은 거리를 갖는 궤적.표준방정식:$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.$$초점 기법: 원에는 초점이 아니라 “중심”이 하나이며, 임의의 점 $P(x,y)$는$$OP = r$$를 만족한다.타원의 초점(Foci)정의: 두 초점 $F_1, F_2$가 주어질 때, 점 $P$이 두 초점까지의 거리 합이 일정($2a$)인 궤적.표준방정식(중심 $(0,0)$, 장축 $x$-축):$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad c^2 = a^2 - b^2,\quad F_{1,2}=(\pm c,0).$$초점 기법:임의의 $P(x,y)$가$$PF_1 +.. 2025. 5. 27. 행렬 기초 & 벡터변환 (고1 선택) 행렬 기초 및 벡터 변환 가이드 (고1 선택)고등학교 1학년 선택 과목으로 배우는 행렬(matrix) 은 여러 벡터를 한 번에 다루거나, 연립방정식·좌표변환·컴퓨터 그래픽 등 다양한 분야에 활용되는 강력한 도구입니다.이 글에서는행렬의 정의와 기본 연산행렬과 벡터의 곱을 통한 벡터 변환직교 변환·확대·회전·반사 매트릭스실전 예제와 팁을 차례로 정리하여, 행렬과 벡터 변환의 핵심 개념을 이해하고 실전에 바로 적용할 수 있도록 안내합니다.행렬의 기초행렬의 정의$m\times n$ 행렬이란, 가로 $n$개, 세로 $m$개 숫자를 직사각형 배열로 놓은 것보통 대문자 $A=[a_{ij}]$로 표기하며, $a_{ij}$는 $i$번째 행, $j$번째 열 원소행렬 덧셈·스칼라배덧셈: 같은 크기의 행렬 $A,B$에 대하여.. 2025. 5. 24. 이전 1 2 3 4 5 ··· 7 다음 반응형
