구면·원뿔·원통의 단면 기하

3차원 도형인 구면, 원뿔, 원통을 평면으로 자를 때 나타나는 단면(截面, cross-section) 은 기하학의 핵심 주제로, 물리·공학·컴퓨터 그래픽 등에서 자주 다루어집니다.

이 글에서는 각각의 도형이 평면과 만날 때 나타나는 단면의 형태를 정리하고, 주요 기하학적 성질과 응용 예제를 살펴보겠습니다.

구면(반지름 $R$, 중심 $O$)을 임의의 평면으로 자르면, 잘린 평면 위에는 항상 원이 생깁니다.

적도 단면: $d=0$ → $r=R$ → 면적 $\pi R^2$
위도 단면: 구 위의 위도 $\phi$에서 $d=R\sin\phi$ → $r=R\cos\phi$ → 면적 $\pi R^2\cos^2\phi$

원뿔(정원뿔, 높이 $H$, 밑면 반지름 $R$)에 평면을 대각선 방향으로 자르면, 그 형태는 다음 네 가지로 나뉩니다.

수평 단면(밑면과 평행)
- 단면 원의 반지름: $\displaystyle r = R\bigl(1 - \tfrac{d}{H}\bigr)$
- 면적: $\displaystyle \pi r^2$
완전 수직 단면(축을 포함)
- 이차곡선: 삼각형 형태(등변삼각형)
- 단면 기하: 높이 $H$, 밑변 $2R$
사선 단면(축에 비스듬)
- 평면 기울기에 따라 생성되는 이차곡선
- 평면이 축에 수직하지 않고, 구멍 없이 지날 때: 타원
- 기울기를 극단으로 높이면: 포물선(한쪽으로 열린) 또는 쌍곡선
평면이 축과 평행하지만 밑면 밖에서 통과
- 쌍곡선 단면

원통(반지름 $R$, 축 $OA$)을 자를 때 단면의 형태는 다음과 같습니다.

수평 단면(축에 수직)
- 밑면과 같은 원: 반지름 $R$
- 면적: $\pi R^2$
축 평행 단면
- 높이 $H$에 따라 생성되는 직사각형
- 너비 $2R$, 높이 $H$
사선 단면(축에 비스듬)
- 단면은 타원
- 주요 반지름: $R$ (원통 반지름), $\displaystyle \frac{H}{\sin\theta}$ (자른 각도 $\theta$에 따라)

사선 단면 타원의 두 반지름여기서 $\alpha$는 단면 평면과 수평면이 이루는 각도.
- $$
  a = R,\quad
  b = \frac{R}{\sin\alpha},
  $$
타원 면적:
- $$
  A = \pi,a,b = \pi R,\frac{R}{\sin\alpha} = \frac{\pi R^2}{\sin\alpha}.
  $$

단면 기하 문제는 3D 도형과 평면 방정식을 연결하는 벡터·좌표 기법이 핵심입니다. 오늘 정리한 공식을 바탕으로, 다양한 단면 문제를 연습하며 능력을 키워 보시기 바랍니다.

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