적분을 이용한 평균값·중심 정리

적분을 이용한 평균값·중심 정리

적분은 단순히 곡선 아래 면적을 구하는 도구를 넘어, 함수의 평균값을 구하고, 도형이나 곡선의 중심(centroid, 무게중심)을 찾는 핵심 수단입니다. 본 포스팅에서는 다음 두 가지 정리를 중심으로 다루겠습니다.

1. 적분을 이용한 평균값 정리(Mean Value Theorem for Integrals)
2. 적분을 이용한 중심 정리(Centroid Theorem)

각 정리의 정의·증명·해석 과정을 살펴본 뒤, 실전 예제로 개념을 확실히 다지고, 물리적·기하학적 응용 사례를 통해 활용력을 기르실 수 있도록 구성했습니다.

---

평균값 정리

평균값 정리의 정의

연속 함수 $f(x)$가 구간 $[a,b]$에서 연속일 때, 구간 전체의 평균값 $\bar f$는
$$
\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x),dx
$$
로 정의됩니다. 이때, 다음과 같은 평균값 정리가 성립합니다.

정리(적분의 평균값 정리)
연속 함수 $f$가 구간 $[a,b]$에서 연속이라면, 적어도 하나의 $c\in(a,b)$가 존재하여
$$
\int_a^b f(x),dx = f(c),(b-a).
$$
즉, 함수값이 어느 한 점에서 평균값과 같아지는 위치가 항상 존재합니다.

평균값 정리 증명

1. 함수 $F(x)=\int_a^x f(t),dt - f(c)(x-a)$ 라는 보조 함수를 생각합니다.
2. $F(a)=0$ 이고, $F(b)=\int_a^b f(t),dt - f(c)(b-a)=0$ 가 되도록 $f(c)=\bar f$ 를 지정합니다.
3. 라그랑주 평균값 정리(미분의 평균값 정리)를 $F(x)$ 에 적용하면, $F'(ξ)=0$ 인 $ξ\in(a,b)$ 가 존재합니다.
4. $F'(x)=f(x)-\bar f$ 이므로, $f(ξ)=\bar f$ 임을 알 수 있습니다.

이로써 “적분의 평균값 정리”와 “미분의 평균값 정리”가 상호 연결되어 있음을 확인할 수 있습니다.

평균값 정리 해석과 응용

• 해석: 평균값 정리는 “연속함수는 구간 전체 평균값을 어느 한 점의 함수값으로 대신할 수 있다”는 의미입니다.
• 응용 예제
  • 평균 온도 계산: 하루 동안의 온도 $T(t)$ 곡선을 $\bar T=\frac1{24}\int_0^{24}T(t),dt$ 로 구하고, 평균값 정리로 “어느 한 시각에는 정확히 평균 온도가 된다”는 사실을 보장합니다.
  • 전력 소비: 전력량 곡선 $P(t)$ 에 대해 평균 전력 $\bar P=\frac1{T}\int_0^T P(t),dt$ 이며, 일정 시점에 실제 전력이 그 평균이 됩니다.

---

중심 정리

중심(centroid)의 정의

평면 도형이나 곡선상의 점들이 균일한 밀도를 가질 때, 그 무게중심(centroid) 좌표는 적분을 통해 다음과 같이 구합니다.

정의(평면 도형의 중심)
영역 $D$ 의 면적을
$$
A = \int!!!\int_D dA
$$
라고 할 때, 무게중심 $(\bar x,\bar y)$ 는
$$
\bar x = \frac{1}{A}\int!!!\int_D x,dA,\quad
\bar y = \frac{1}{A}\int!!!\int_D y,dA.
$$

정의(곡선의 중심)
매개곡선 $(x(t),y(t)),,t\in[a,b]$ 의 중심은
$$
\bar x = \frac{1}{L}\int_a^b x(t),ds,\quad
\bar y = \frac{1}{L}\int_a^b y(t),ds
$$
여기서 $L=\int_a^b ds$ (곡선의 전체 길이), $ds=\sqrt{(x')^2+(y')^2},dt$ 입니다.

평면 도형 중심 증명 개요

1. 도형을 무수히 작은 미소 사각형(리만 분할)으로 나누고, 각 사각형의 무게가 $(x_i,y_i)$ 위치에 집중되었다고 가정합니다.
2. 전체 무게중심은 이산적인 무게중심들의 가중평균 형태로 근사됩니다.
3. 분할을 촘촘하게 하여 극한을 취하면, 이산 합이 이중적분으로 전환되어 위 공식이 도출됩니다.

---

실전 예제

예제 1: 삼각형의 중심

• 꼭짓점 $(0,0),,(a,0),,(0,b)$ 인 직각삼각형의 면적 $A=\tfrac12ab$
• 중심

$$
\bar x = \frac{1}{A}\int_0^a\int_0^{b(1-\frac{x}{a})} x,dy,dx
= \frac{1}{\frac12ab}\cdot \frac{ab^2}{6}
= \frac{a}{3}
$$

$$
\bar y = \frac{b}{3}
$$

• 결론: 삼각형 중심은 세 변의 중점 연결선이 만나는 점으로, $(\tfrac a3,\tfrac b3)$ 입니다.

예제 2: 곡선의 중심

• 포물선 $y=x^2,;0\le x\le1$ 의 호길이 중심
  1. $ds=\sqrt{1+4x^2},dx$
  2. 전체 길이 $L=\int_0^1\sqrt{1+4x^2},dx$
  3. $$
     \bar x = \frac{1}{L}\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2},dx,\quad
     \bar y = \frac{1}{L}\int_0^1 x^2\sqrt{1+4x^2},dx.
     $$
  4. 치환적분으로 각각 계산하여 중심 좌표를 구할 수 있습니다.

---

결론

적분을 이용한 평균값 정리와 중심 정리는 함수나 도형의 특성을 하나의 수치로 압축하여 해석할 수 있게 해 줍니다.

• 평균값 정리로 구간 전체의 평균적 함수값이 실제 함수값과 일치하는 위치를 보장하고,
• 중심 정리로 도형이나 곡선의 대칭적·물리적 중심을 정확히 계산할 수 있습니다.

오늘 다룬 정의·증명·해석·예제 과정을 충분히 연습하셔서, 미적분의 응용 영역에서 강력한 분석 도구로 활용하시길 바랍니다.