부정적분에서 특수함수 (ln, arcsin) 처리

부정적분에서 특수함수 처리: $\ln x$와 $\arcsin x$ 집중 공략

부정적분(원시함수 찾기)은 다항식이나 지수·삼각함수뿐 아니라, $\ln x$나 $\arcsin x$ 같은 특수함수의 적분 테크닉이 핵심입니다.

이 글에서는

• $\int \ln x,dx$ 와 $\int \arcsin x,dx$ 의 유도 원리
• 치환적분과 부분적분을 결합한 깔끔한 증명
• 실전 활용 예제 및 응용 팁
  를 단계별로 살펴보겠습니다.

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$\displaystyle \int \ln x,dx$ 해법

기본 아이디어

$\ln x$ 는 멱함수 규칙으로 바로 적분할 수 없어, 부분적분을 적용해야 합니다.

단계별 유도

1. 부분적분 공식을 기억합니다.
   $$
   \int u,dv = u,v - \int v,du.
   $$
2. $u$ 와 $dv$ 를 선택합니다.
   • $u = \ln x \quad\Rightarrow\quad du = \frac1x,dx.$
   • $dv = dx \quad\Rightarrow\quad v = x.$
3. 부분적분 실행:
   $$
   \int \ln x,dx
   = x\ln x - \int x\cdot\frac1x,dx
   = x\ln x - \int 1,dx
   = x\ln x - x + C.
   $$

핵심 팁

• 우선순위: $u$ 에는 “미분해서 간단해지는” 함수를, $dv$ 에는 남은 항을 둡니다.
• $\ln x$ 는 미분 시 $1/x$ 로 단순해지므로 항상 $u$ 로 선택하세요.

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$\displaystyle \int \arcsin x,dx$ 해법

기본 아이디어

$\arcsin x$ 도 역시 부분적분을 활용하거나, 삼각치환으로 변환할 수 있습니다. 여기서는 부분적분 + 삼각치환 조합을 소개합니다.

단계 1. 부분적분 선택

1. $u = \arcsin x \quad\Rightarrow\quad du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},dx.$
2. $dv = dx \quad\Rightarrow\quad v = x.$
3. 부분적분하면:
   $$
   \int \arcsin x,dx
   = x,\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}},dx.
   $$

단계 2. 치환적분

나머지 적분 $$\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}},dx$$ 에는 치환을 사용합니다.

1. $t = 1 - x^2 \quad\Rightarrow\quad dt = -2x,dx,;$ 즉 $;x,dx = -\tfrac12,dt.$
2. 치환 후:
   $$
   \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}},dx
   = -\frac12 \int \frac{1}{\sqrt{t}},dt
   = -\frac12 \cdot 2\sqrt{t} + C
   = -\sqrt{1 - x^2} + C.
   $$
3. 원식에 대입하여 최종 결과:
   $$
   \int \arcsin x,dx
   = x,\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C.
   $$

핵심 팁

• $\arcsin x$ 미분은 $\tfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ 이므로, 나머지 항에 꼭 $x,dx$ 가 남도록 $u$와 $dv$를 선택합니다.
• 치환 시 $t=1-x^2$ 로 놓으면 분모가 깔끔해집니다.

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추가 연습 문제

1. $\displaystyle \int \ln(2x),dx$ 의 부정적분을 구하세요.
2. $\displaystyle \int \arcsin(2x),dx$ 를 부분적분 + 치환으로 해결해 보세요.
3. $\displaystyle \int x,\ln x,dx$ 를 부분적분으로 풀어, $x^2\ln x$ 와 어떤 차이가 있는지 비교하세요.

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결론

• $\ln x$ 적분: 부분적분 → $x\ln x - x + C$
• $\arcsin x$ 적분: 부분적분 + 치환 → $x,\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$

이 두 공식은 부정적분에서 가장 자주 쓰이는 특수함수 처리법입니다. 부분적분 우선순위와 치환 변수 선택 전략을 숙달하면, 유사한 형태의 복합 함수도 손쉽게 다룰 수 있습니다. 오늘 배운 테크닉을 바탕으로 다양한 예제를 풀어 보시기 바랍니다.