AM–GM(산술평균–기하평균) 부등식, 등차중항·등비중항 최적화 문제

AM–GM(산술평균–기하평균) 부등식, 등차중항·등비중항 최적화 문제

수능·모의고사 고난도 문항에서 자주 등장하는 AM–GM(산술평균–기하평균) 부등식은, 두 수 이상의 합과 곱 사이의 관계를 이용해 최적값을 찾는 강력한 도구입니다. 특히 등차중항(arithmetic mean) 과 등비중항(geometric mean) 개념을 활용하면, “합이 주어졌을 때 곱의 최대화”나 “곱이 주어졌을 때 합의 최소화” 같은 최적화 문제를 우아하게 해결할 수 있습니다.

이 글에서는

1. 등차중항과 등비중항의 정의 및 기본 성질
2. AM–GM 부등식의 증명과 직관적 이해
3. 등차중항을 이용한 최적화 대표 문제
4. 등비중항을 이용한 최적화 대표 문제
5. 실전 적용 팁과 심화 문제

순으로 정리하여, AM–GM 부등식을 모르는 학생도 단계별로 개념을 이해하고, 다양한 수능·경시 문제에 적용할 수 있도록 안내합니다.

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등차중항과 등비중항 기본 개념

등차중항(산술평균)

• 정의: 두 수 $a,b$의 등차중항은 산술평균 $A$로,
  $$A = \frac{a + b}{2}.$$
• 성질: 등차수열 $a, A, b$를 만들며, 가운데 항 $A$가 양쪽 항과 등차관계를 갖습니다.
• 일반화: $n$개의 양수 $a_1,a_2,\dots,a_n$에 대하여
  $$\overline{A} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k$$
  를 산술평균이라 합니다.

등비중항(기하평균)

• 정의: 두 수 $a,b$의 등비중항은 기하평균 $G$로,
  $$G = \sqrt{ab}.$$
• 성질: 등비수열 $a, G, b$를 만들며, 가운데 항 $G$가 양쪽 항과 등비관계를 이룹니다.
• 일반화: $n$개의 양수 $a_1,a_2,\dots,a_n$에 대하여
  $$\overline{G} = \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n a_k}$$
  를 기하평균이라 합니다.

직관적 이해: 합을 등분하면 각 항이 같을 때(등차중항) 합에 대한 평균값이 최대한 분산 없이 퍼지고, 곱을 일정하게 유지하려면 각 항이 같을 때(등비중항) 곱의 크기를 극대화하거나 분산을 최소화할 수 있습니다.

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AM–GM 부등식 증명

두 수의 경우

두 양수 $a,b>0$에 대하여
$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$
를 증명하는 가장 간단한 방법은 완전제곱식 활용입니다.

1. $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ 이므로
   $$a + b - 2\sqrt{ab} \ge 0.$$
2. 양변에 $\tfrac12$를 곱하면
   $$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}.$$

등호 성립 조건은 $a=b$일 때 뿐입니다.

다수의 경우

$n$개의 양수 $a_1,\dots,a_n$에 대해
$$\frac{a_1+\cdots+a_n}{n} ;\ge; \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$$
도 귀납법 또는 재귀적 이분법으로 증명할 수 있으며, 등호는 모든 $a_k$가 같을 때만 성립합니다.

확장 팁: 여러 항의 산술평균–기하평균 부등식을 활용하면, 미지수가 많은 다항식 최적화에도 적용 가능합니다.

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등차중항 활용 최적화 문제

문제 1. 두 수의 합 고정 시 곱의 최대값

문제: 양수 $x,y>0$에 대하여 $x+y=10$일 때, $xy$의 최댓값과 그때의 $x,y$ 값을 구하시오.

풀이:

1. AM–GM에 따라
   $$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}
   ;\Longrightarrow;
   \sqrt{xy} \le \frac{10}{2} = 5.$$
2. 양변 제곱: $xy \le 25$.
3. 등호 성립은 $x=y$일 때, 즉 $x=y=5$일 때.
4. 따라서 $\max xy=25$이며, 해는 $(5,5)$.

문제 2. 세 수의 합 고정 시 곱의 최대값

문제: 양수 $a,b,c>0$에 대하여 $a+b+c=12$일 때, $abc$의 최댓값을 구하시오.

풀이:

1. 산술평균–기하평균 부등식의 3개 항 형태 적용:
   $$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}
   ;\Longrightarrow;
   \sqrt[3]{abc} \le 4.$$
2. 세제곱: $abc \le 64$.
3. 등호 성립 조건 $a=b=c=4$.
4. 따라서 $\max abc=64$이며, 해는 $(4,4,4)$.

문제 3. 거리 합 최소화 문제

문제: 원점에서 거리가 각각 $x, 10-x$인 두 점이 있을 때, 두 거리의 합이 최소가 되도록 $x$ 값을 구하시오.

풀이 힌트:
거리 합 $S = x + (10-x) = 10$으로 상수이므로 AM–GM을 바로 적용할 수 없습니다. 대신, 거리가 아닌 “거리의 제곱합”을 최소화하거나, 두 거리 간 차이를 조절해야 합니다. 중항 개념 보다는 미분이 더 적합하지만, 차이를 줄이는 전략은 역시 $x=10-x$ 즉 $x=5$입니다. 이때 거리 제곱 합은 최소가 됩니다.

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등비중항 활용 최적화 문제

문제 4. 두 수의 곱 고정 시 합의 최소값

문제: 양수 $x,y>0$에 대하여 $xy=16$일 때, $x+y$의 최소값과 그때의 $x,y$ 값을 구하시오.

풀이:

1. AM–GM에 따라
   $$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} = \sqrt{16} = 4
   ;\Longrightarrow;
   x+y \ge 8.$$
2. 등호 성립 조건 $x=y$, 즉 $x=y=4$.
3. 따라서 $\min(x+y)=8$이며 해는 $(4,4)$.

문제 5. 세 수의 곱 고정 시 합의 최소값

문제: 양수 $a,b,c>0$에 대하여 $abc=27$일 때, $a+b+c$의 최소값을 구하시오.

풀이:

1. 3개 항 산술평균–기하평균:
   $$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} = 3
   ;\Longrightarrow;
   a+b+c \ge 9.$$
2. 등호 성립 $a=b=c=3$.
3. 따라서 $\min(a+b+c)=9$, 해는 $(3,3,3)$.

문제 6. 실생활 응용 – 직사각형의 최대 넓이

문제: 둘레가 20인 직사각형의 넓이를 최대화하시오.

풀이:

1. 가로 $x$, 세로 $y$일 때 $2(x+y)=20\implies x+y=10$.
2. 넓이 $A=xy$를 문제 1과 동일하게 풀면 $\max A=25$이며 $x=y=5$.
3. 즉, 정사각형이 최적이다.

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실전 팁 및 심화 문제

1. 항이 셋 이상일 때: AM–GM 부등식을 적용하기 전, 적절히 그룹핑하거나 함수 형태로 변환해 근사식을 세울 수 있습니다.
2. 조건부 최적화: “합이 일정”, “곱이 일정”뿐 아니라 “1차식+곱 일정” 같은 복합 조건도, 추가 항을 더해 AM–GM으로 풀어볼 수 있습니다.
3. 부등식 응용: AM–GM은 다른 부등식(예: QM–AM, 다중 평균 부등식)과 결합해 더욱 강력한 최적화 도구가 됩니다.

심화 문제

1. 4개 항 합 고정 시 곱 최대: $a+b+c+d=20$인 양수 4개 항의 곱 최댓값.
2. 가중평균 최적화: $2x+3y=12$일 때 $xy$의 최대값.
3. 비정형 조건 최적화: $x+y+xy=15$ 조건에서 $x,y>0$일 때 $x^2+y^2$의 최소값.

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결론

등차중항(산술평균)과 등비중항(기하평균)은 수열·함수·기하·대수 모든 영역에서 합과 곱의 관계를 해석하는 핵심 부등식입니다.

• 합 상수 조건에서 곱의 최대화
• 곱 상수 조건에서 합의 최소화

이 두 가지 전형 문제를 반복 학습하시고, 다양한 변형 조건에도 AM–GM 부등식을 자유롭게 응용하시면, 수능을 넘어 경시·연구형 문제에서도 높은 효율을 경험하실 수 있습니다.