수열에서 등식·부등식 증명 모음

수열에서 등식·부등식 증명 모음

수열 문제를 풀 때 가장 핵심이 되는 기술 중 하나는 수열 간 등식과 부등식을 명확히 증명하는 것입니다. 알맞은 증명 기법을 선택하면, 복잡해 보이는 관계도 체계적으로 해체하여 해답을 이끌어낼 수 있습니다.

본 포스팅에서는

1. 대수적 변형을 이용한 등식 증명
2. 수학적 귀납법을 이용한 일반항·합 공식 증명
3. 부등식 증명의 다양한 테크닉
4. 대표 예제 및 응용
   를 단계별로 정리하여, 수능·모의고사·경시형 문제까지 폭넓게 적용할 수 있는 증명 모음을 제공합니다.

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대수적 변형을 이용한 등식 증명

부분합 공식의 유도

• 증명 목표: 등차수열 ${a_n}$의 부분합
  $$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n}{2}(a_1 + a_n).$$
• 증명 요령: 앞뒤로 뒤집어 더한 뒤 상쇄
• 상세
  1. $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$.
  2. $S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_1$.
  3. 두 식을 더해 $2S_n = n(a_1+a_n)$이므로, $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$.

점화식의 닫힌형 변환

• 예시: 이차 점화식
  $$a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n,\quad a_1,A_2\text{ 주어짐}$$
• 증명 요령: 특성방정식 $r^2-pr-q=0$ 풀어 일반해 구성
• 상세
  1. $r_1,r_2$ 해 얻기.
  2. $a_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^n$ 형태 가정.
  3. 초기조건 대입해 $\alpha,\beta$ 결정.

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수학적 귀납법 활용 증명

등비수열 합 공식

• 증명 목표:
  $$\sum_{k=0}^{n-1}b_1r^k=\begin{cases}\frac{b_1(1-r^n)}{1-r},&r\neq1,\ nb_1,&r=1.\end{cases}$$
• 귀납법 개요
  1. 기초: $n=1$일 때 성립 확인.
  2. 가정: $n=k$일 때 성립한다고 가정.
  3. 증명: $n=k+1$에서
     $$\sum_{k=0}^{k}b_1r^k = \frac{b_1(1-r^k)}{1-r} + b_1r^k = \frac{b_1(1-r^{k+1})}{1-r}.$$

수열의 부등식 증명 예

• 증명 목표: 양수 수열 $a_n$가 등비수열 공비 $r>1$이라면
  $$a_n\ge a_1,r^{,n-1}.$$
• 귀납법
  1. $n=1$에서 $a_1\ge a_1$ 성립.
  2. 가정: $a_k\ge a_1r^{k-1}$.
  3. 점화식 $a_{k+1}=ra_k$ 이용해
     $$a_{k+1}=ra_k\ge ra_1r^{k-1}=a_1r^k.$$

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부등식 증명의 다양한 테크닉

완전제곱식 활용

• 증명 목표: 등차수열의 세 연속항 $a_{k-1},a_k,a_{k+1}$에 대하여
  $$2a_k = a_{k-1} + a_{k+1}.$$
• 방법: 등차수열 정의 $a_{n+1}-a_n=d$에서
  $$a_{k+1}=a_k+d,\quad a_{k-1}=a_k-d,$$
  더하면 $a_{k-1}+a_{k+1}=2a_k$.

비교·대응법

• 예시: 조화급수 $\sum\frac1n$이 발산함 증명
• 증명 요령: 부분합을 이등분하거나 하위 집합 급수와 비교
• 상세
  $$1+\frac12+\frac13+\frac14>1+\frac12+\frac14+\frac14=1+2\cdot\frac12+\frac14+\cdots$$

AM–GM 적용

• 예시: 양수 $x,y$에 대하여 $\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$ 증명
• 방법: 완전제곱식 $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge0$ 이용

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대표 예제 및 심화 응용

예제 1: 수열 부등식

문제: 양수 수열 $a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n + 1$이고 $a_1=2$일 때, $a_n<3$임을 증명하시오.

• 풀이 요령: 귀납법 가정 후 점화식 대입 → 부등식 전개

예제 2: 급수 부등식

문제: 조화급수 부분합 $H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$이 $\ln(n+1)$보다 크다는 것을 증명하시오.

• 풀이 요령: 비교판정법 사용
  $$H_n > 1 + \int_1^n\frac{dx}{x} = 1 + \ln n.$$

예제 3: 합과 곱의 부등식

문제: $a+b=10$인 양수 $a,b$에 대해 $a^2+b^2\ge50$임을 증명하시오.

• 풀이 요령:
  $$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab \ge 100 - 2\bigl(\tfrac{a+b}2\bigr)^2 = 100 - 50 = 50.$$

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결론

수열에서 등식·부등식 증명은 대수적 변형, 귀납법, 부등식 기법 세 축을 적절히 결합해야 합니다.

• 등식 문제: 완전제곱·특성방정식·귀납법
• 부등식 문제: 비교판정·AM–GM·부분합·망토법

이들 기법을 손에 익히시면, 수능 고난도·경시형 문제에서도 안정적으로 해법을 전개할 수 있습니다. 다양한 유형을 충분히 연습하시어, 어떠한 수열 관계도 자신 있게 증명하시기 바랍니다.