복합 점화식, 등차수열 일반항 증명, 이차 점화식의 일반항 유도 - 수열 귀납·수학적 귀납법 심화 풀이

복합 점화식, 등차수열 일반항 증명, 이차 점화식의 일반항 유도 - 수열 귀납·수학적 귀납법 심화 풀이

수열의 일반항을 구하거나 어떤 성질을 엄밀하게 증명하기 위해 가장 강력한 도구 중 하나가 수학적 귀납법(mathematical induction)입니다. 특히 단순한 등차·등비수열을 넘어, 복잡한 점화식을 가진 수열이나 비선형 구조를 지닌 사례에서도 귀납법은 “기초 성립 → 귀납 가정 → 귀납 증명”의 세 단계로 체계적이고 반복적인 사고를 가능하게 합니다.

이번 포스팅에서는

1. 수학적 귀납법의 원리와 단계별 구성
2. 수열 귀납 증명 핵심 전략
3. 대표 예제 3가지 심층 풀이
4. 더 높은 난이도를 위한 확장 기법
5. 연습용 심화 문제

를 순서대로 다루어, 수능·모의고사 고난도 문제뿐 아니라 경시·연구형 문제에도 활용할 수 있는 귀납적 사고력을 기르도록 하겠습니다.

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수학적 귀납법 개요

정의와 원리

수학적 귀납법은 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 전체에 대해 성질 $P(n)$이 참임을 증명할 때 사용하는 방법으로, 다음 두 단계를 거칩니다.

1. 기초단계(Base Case): $P(1)$ 또는 필요한 최소값($P(0)$ 등)이 성립함을 보인다.
2. 귀납단계(Inductive Step): 임의의 $k\in\mathbb{N}$에 대해 $P(k)$가 참이라고 가정하고, 이를 바탕으로 $P(k+1)$도 참임을 증명한다.

이 두 단계가 완료되면, 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대해 $P(n)$이 참이 됩니다.

주의사항

• 기초단계를 놓치면, 증명이 무너질 수 있습니다.
• 귀납 가정에서 $P(k)$만으로 $P(k+1)$을 증명하지 못하는 경우, 증명 방식이나 가정을 강화해야 합니다.
• 복수 기초단계($P(1),P(2)$ 등)나 이중 귀납법, 강한 귀납법(strong induction)이 필요한 상황도 있습니다.

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수열 귀납 증명 전략

1. 성질의 정확한 정의

증명하려는 $P(n)$이 “$a_n$의 일반항 형태”, “수열의 부등식 성립”, “합 공식” 등 어떤 형태인지 명확히 언어화해야 합니다.

2. 기초단계

• $n=1$ 또는 최소 정의역에서 $P(n)$이 성립함을 확인
• 초기항과 점화식이 일치하는지 점검

3. 귀납가정 수립

• “임의의 $k\ge1$에 대해 $P(k)$가 참이다”를 가정
• 증명을 위해 필요한 형태로 $a_k$, $\sum_{i=1}^k a_i$ 등을 표현

4. 귀납증명

• 가정 $P(k)$을 이용하여 $P(k+1)$을 논리적으로 도출
• 점화식을 직접 대입하거나, 등차·등비 중항 성질, 부등식 등 다른 도구와 결합
• 중간에 잘 알려진 공식(예: 합 공식, AM–GM 등)을 적절히 활용

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대표 예제 심층 풀이

예제 1: 등차수열 일반항 증명

문제: 점화식 $a_{n+1}=a_n + d,;a_1 = A$인 등차수열에서
$$a_n = A + (n-1),d$$
임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

풀이:

1. 기초단계: $n=1$일 때, 우변 $A+(1-1)d=A=a_1$이므로 성립.
2. 귀납가정: 임의의 $k\ge1$에 대해 $a_k = A+(k-1)d$라 가정.
3. 귀납증명:
   $$a_{k+1} = a_k + d = \bigl[A+(k-1)d\bigr] + d = A + kd.$$
   우변은 $n=k+1$ 경우의 $A+(n-1)d$와 일치하므로, $P(k+1)$도 성립.
4. 기초와 귀납이 모두 성립하므로, 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 일반항 공식이 참임.

예제 2: 이차 점화식의 일반항 유도

문제: 점화식
$$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n,\quad a_1=2,;a_2=5$$
인 수열이
$$a_n = 2^n + 1$$
임을 증명하시오.

풀이:

1. 기초단계:
   • $n=1$: 우변 $2^1+1=3\neq a_1$ → 오류 발생!
     실제로 $a_1=2$이므로 가설이 잘못되었습니다.
2. 일반항을 $a_n = 2^n + c$ 형태로 가정하고, 초기조건에 맞추어 $c$ 결정
   • $a_1 = 2^1 + c = 2 \implies c = 0$
   • $a_2 = 2^2 + 0 = 4$, 그러나 실제 $a_2=5$ → 또 불일치
3. 따라서 형태 수정: $a_n=2^n + n$이라 가정
   • $a_1=2+1=3\neq2$ → 또 실패
4. 올바른 가정: 선형 결합 형태
   $$a_n = \alpha\cdot 2^n + \beta\cdot 1^n$$
   초기조건으로 $\alpha,\beta$를 해석:
   • $n=1$: $a_1 = 2 = 2\alpha + \beta$
   • $n=2$: $a_2 = 5 = 4\alpha + \beta$
     이 연립해를 풀면 $\alpha=3$, $\beta=-4$.
     따라서 $a_n = 3\cdot2^n -4$.
5. 귀납법 증명: 위 형태가 점화식을 만족하는지 확인
   • 가정: $a_k = 3\cdot2^k -4$, $a_{k+1}=3\cdot2^{k+1}-4$
   • 점화식 우변:
     $$3a_{k+1}-2a_k
     =3(3\cdot2^{k+1}-4) -2(3\cdot2^k-4)
     =9\cdot2^{k+1}-12 -6\cdot2^k+8
     =3\cdot2^{k+2}-4
     =a_{k+2}.$$
   • 기초단계: $n=1,2$에서 초기조건과 일치함을 확인했으므로, 귀납법으로 모든 $n$에서 성립.

예제 3: 복합 점화식을 간단히

문제:
$$a_{n+1} = \frac{n}{n+1}a_n + 3,\quad a_1 = 4$$
일 때, $a_n$의 일반항을 구하시오.

풀이 전략:

1. 추가항 기법으로 $b_n = a_n + c$ 형태를 가정해 점화식을 단순화
2. 상수 $c$를 찾아서 $b_{n+1}$과 $b_n$ 사이를 등비 형태로 변형

풀이:

1. $a_{n+1} - \frac{n}{n+1}a_n = 3$
2. $b_n = a_n + c$라 하면,
   $$b_{n+1} - \frac{n}{n+1}b_n = 3 + c - \frac{n}{n+1}c
   = 3 + \frac{c}{n+1}.$$
   우변의 $\frac{c}{n+1}$ 항을 없애기 위해 $c=-3$을 선택
3. 이때 $b_n = a_n - 3$이고, 점화식은
   $$b_{n+1} = \frac{n}{n+1}b_n.$$
   즉,

$$b_n = b_1\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k}{k+1}
= (4-3)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdots\frac{n-1}{n}
= \frac{1}{n}.$$

4. 따라서
   $$a_n = b_n + 3 = 3 + \frac{1}{n}.$$

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고난도 확장 기법

이중 귀납법(Double Induction)

• 두 변수 $(n,m)$에 대해 동시 귀납이 필요할 때 사용
• 꼬리 물고 이어지는 2차원 점화식 해석에 효과적

강한 귀납법(Strong Induction)

• $P(1),P(2),\dots,P(k)$ 모두를 가정하고 $P(k+1)$을 증명
• 이차점화식처럼 이전 두 항 정보를 모두 써야 하는 경우에 필수

불변량(Invariant) 활용

• 귀납 과정에서 특정 함수(예: $a_n + f(n)$)가 일정함을 보이면, 간접적인 일반항 도출 가능

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연습용 심화 문제

1. 점화식 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{n}{2},;a_1=1$의 일반항을 구하고, $\lim_{n\to\infty}a_n$을 구하시오.
2. 이차점화식 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$에서 $F_1=1, F_2=2$일 때, $F_n$의 일반항을 강한 귀납법으로 정리하시오.
3. 두 변수 점화식
   $$u_{m,n} = u_{m-1,n} + u_{m,n-1},;u_{0,n}=1,;u_{m,0}=1$$
   의 해를 이중 귀납법으로 증명하고, 조합수 $\binom{m+n}{n}$과의 관계를 설명하시오.

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결론

수열의 복잡한 점화식을 다룰 때 수학적 귀납법은 증명의 골격을 제공합니다.

• 기초단계를 명확히 확인하고,
• 귀납가정을 적절히 활용하여 점화식을 전개하며,
• 필요하다면 추가항, 강한 귀납법, 이중 귀납법 등 확장 기법을 접목하면, 고난도 문제도 체계적으로 해결할 수 있습니다.

오늘 제시한 전략과 예제를 충분히 연습하시면, 수능·경시수학·연구형 문제에서 귀납적 사고로 난관을 돌파하는 능력을 갖추실 수 있습니다.

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