계차가 있는 수열 전략: 부분합·망토법·추가항

계차가 있는 수열 전략: 부분합·망토법·추가항

수열 문제 중에서도 “계차(差)가 일정하지 않은” 혹은 “계차 자체가 수열”인 유형은 수능·모의고사 고난도 문항에서 자주 등장합니다. 이때 부분합 전략, 망토법(텔레스코핑), 추가항 기법을 적절히 활용하면 복잡한 점화식을 손쉽게 풀 수 있습니다.

이번 포스팅에서는 각 기법의 원리와 증명 과정을 구체적으로 살펴보고, 대표 예제를 통해 실전 감각을 익히겠습니다.

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계차 수열의 기본 개념

계차 수열이란?

• 정의: 원래 수열 ${a_n}$의 인접한 항 차이
  $$\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$$
  이 다시 수열을 이룰 때, 우리는 ${\Delta a_n}$을 계차 수열이라 부릅니다.
• 예를 들어, $a_n=n^2$라면
  $$\Delta a_n=(n+1)^2 - n^2 = 2n+1$$
  으로 ${\Delta a_n}={3,5,7,\dots}$인 등차수열이 됩니다.

계차 수열의 활용 포인트

1. 복잡한 $a_n$를 직접 전개하기 어려울 때 계차를 분석하면 그래프의 기울기나 패턴이 드러납니다.
2. $\Delta a_n$이 단순 수열(등차·등비·수렴 등)이라면, $a_n$을 다시 부분합 형태로 복원할 수 있습니다.

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부분합 전략

부분합 정의

• 계차 수열 ${\Delta a_k}$이 주어지면,
  $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \Delta a_k.$$
  로 표현할 수 있습니다.

전략 요약

1. $\Delta a_k$의 일반항을 구한다.
2. $\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k$를 계산해 $a_n$의 닫힌형(Closed Form)을 구한다.
3. 필요한 합이나 극한을 구할 때, 이 표현을 바로 활용한다.

예제: 제곱수 수열

$a_n = n^2$이라 할 때, 앞서 구한 $\Delta a_k = 2k+1$.
$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)
= 1 + \bigl(2\sum_{k=1}^{n-1}k + (n-1)\bigr)
= 1 + \bigl(2\cdot\tfrac{(n-1)n}{2} + n-1\bigr)
= n^2.$$
이 과정을 거치면, 계차가 등차수열일 때 $a_n$이 자연스럽게 이차식으로 복원됨을 확인할 수 있습니다.

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망토법(텔레스코핑)

망토법 원리

• 급수나 점화식에서 항을 두 항의 차이 형태로 분해하면, 많은 항이 서로 상쇄된 뒤 “맨 앞과 맨 뒤”만 남는 현상을 망토효과라 부릅니다.
• 즉,
  $$\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1}.$$

전략 요약

1. $a_k$나 $\Delta a_k$ 중 차분 구조로 분해 가능한 부분을 찾는다.
2. $b_k - b_{k+1}$ 형태로 바꾼 뒤 급수 형태로 전개한다.
3. 대부분의 항이 취소된 결과만 남겨 빠르게 합 또는 일반항을 구한다.

예제: 역수 차분 급수

$$S_n = \sum_{k=1}^n \biggl(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\biggr).$$
망토법 적용:
$$
S_n = \Bigl(\tfrac11-\tfrac12\Bigr)
+\Bigl(\tfrac12-\tfrac13\Bigr)
+\cdots
+\Bigl(\tfrac1n-\tfrac1{n+1}\Bigr)
= 1 - \frac1{n+1}.
$$
이처럼 복잡해 보이는 급수도 망토법으로 한순간에 해석됩니다.

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추가항 기법

추가항의 필요성

• 점화식이 바로 망토법형이나 부분합형으로 보이지 않을 때, 임의의 항을 더하거나 빼서 형태를 변형합니다.
• 이를 통해 분모·분자를 조정하거나, 상쇄 구조를 인위적으로 만들어낼 수 있습니다.

전략 요약

1. 문제에서 주어진 표현에 $c$ 같은 상수를 더하거나 빼본다.
2. $a_n + c$ 또는 $a_n - c$ 형태가 망토법으로 분해되는지 확인.
3. 최종 결과에서 가감한 상수를 다시 보정하여 답을 얻는다.

예제: 비전형 차분 수열

점화식 $a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n(n+1)}$이고 $a_1=1$일 때, $a_n$을 구하시오.

• 관찰: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac1n - \frac1{n+1}$.
• 따라서

$$
a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}\bigl(\tfrac1k - \tfrac1{k+1}\bigr)
= 1 + \Bigl(1 - \tfrac1n\Bigr)
= 2 - \frac1n.
$$

• 여기서 추가항은 없지만, 분해 관점에서 기존 항을 재구성한 예입니다.

예제: 상수를 더하는 경우

점화식 $b_{n+1}-b_n = 3$이지만, $b_1=5$일 때 바로 일반항을 구하기 어렵다면,

1. $b_{n+1}-b_n=3 \implies b_n$은 등차수열.
2. 일반항: $b_n = b_1 + (n-1)\cdot3 = 5 + 3(n-1).$
3. 추가항 기법이 필요한 경우는, 차분이 상수 외 더 복잡할 때 주로 사용됩니다.

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대표 예제 종합

1. 부분합 + 망토법:
   $$\Delta a_k = \frac{k+1}{k(k+1)+1},;a_1=1$$
   • 먼저 분모를 인수분해나 상수 보정 후 망토법 분해 시도.
2. 추가항 삽입:
   $$a_{n+1}-a_n = \frac{2n+3}{n(n+1)},;a_1=0$$
   • $\frac{2n+3}{n(n+1)} = \frac{2}{n} + \frac{1}{n+1}$ 형태로 분리 후 부분합 적용.

각 예제마다 전개 과정을 꼼꼼히 풀어 쓰면, 실전 문제에서도 패턴을 바로 떠올릴 수 있습니다.

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결론

계차 수열을 다룰 때는

• 부분합 전략으로 근본 식 복원
• 망토법으로 빠른 합 계산
• 추가항 기법으로 형태 변형

세 가지 기법을 상황에 맞게 조합하는 것이 핵심입니다. 이러한 템플릿을 손에 익히면, 수능·모의고사·경시 모든 수열 문제를 체계적이고 효율적으로 해결할 수 있습니다. 다음 포스팅에서는 수열 극한과 무한급수 연결을 다루며, 오늘 배운 전략을 급수 판정에도 적용해 보겠습니다.