무한등비급수·맥클로린 Series 입문

무한등비급수·맥클로린 Series 입문

무한등비급수와 맥클로린 급수는 무한급수의 대표적 예로, 함수의 전개와 근사에 핵심 역할을 합니다.

• 무한등비급수는 일정한 비율로 계속 더해지는 급수로, 수렴 조건과 합 공식이 간단명료하여 수능은 물론 공학·물리 문제에서도 자주 등장합니다.
• 맥클로린 급수(Maclaurin Series)는 함수 $f(x)$를 $x=0$을 기준으로 테일러 급수로 전개한 형태로, 다양한 함수의 근사와 해석적 성질 분석에 필수 도구입니다.

본 포스팅에서는

1. 무한등비급수의 정의, 수렴 조건 및 합 공식
2. 맥클로린 급수의 원리, 전개 과정, 대표 함수 전개
3. 두 급수의 실제 응용 예제와 심화 학습 포인트
   를 순차적으로 다루며, 증명 과정과 함께 실전 팁을 제시합니다.

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무한등비급수 기초

정의 및 수렴 조건

• 등비수열 ${b_n}$의 일반항은
  $$b_n = b_1,r^{,n-1},$$
  여기서 $b_1$은 첫째항, $r$은 공비(common ratio)입니다.
• 무한등비급수(infinite geometric series)는
  $$\sum_{n=1}^\infty b_n = b_1 + b_1r + b_1r^2 + \cdots.$$
• 수렴 조건:
  $$|r|<1\quad\Longrightarrow\quad\sum_{n=1}^\infty b_1,r^{n-1}=\frac{b_1}{1-r}.$$
  반대로 $|r|\ge1$이면 급수는 발산합니다.

직관적 이해: 공비 $r$가 절댓값 1보다 작아야, 더해지는 항이 점차 작아져 합이 유한한 값에 모이게 됩니다.

합 공식 증명

1. 원래 급수를 $S$라 놓고,
   $$S = b_1 + b_1r + b_1r^2 + \cdots.$$
2. 양변을 $r$로 곱하면
   $$rS = b_1r + b_1r^2 + b_1r^3 + \cdots.$$
3. 두 식을 빼면
   $$(1-r)S = b_1 \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{b_1}{1-r}.$$

응용 예제

• 예제 1: 첫째항이 3, 공비가 $\tfrac12$인 급수의 합
  $$\sum_{n=1}^\infty 3\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1}
  = \frac{3}{1 - \tfrac12} = 6.$$
• 예제 2: 발산 예
  $$\sum_{n=1}^\infty 2^n\quad(|r|=2\ge1)$$
  공비가 2이므로 항이 커져 급수는 발산합니다.

심화 팁

• 분모가 $1-r$ 형태로 남지 않을 때, 추가항을 넣어 형태를 만들거나 망토법을 이용해 해석할 수 있습니다.
• 부분합 $S_N = b_1(1-r^N)/(1-r)$ 을 구한 뒤 $N\to\infty$로 극한을 취하는 방식도 자주 사용합니다.

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맥클로린 급수 입문

정의 및 전개 원리

• 맥클로린 급수는 테일러 급수의 특수한 경우로, 기준점 $a=0$에서 전개합니다.
• 함수 $f(x)$가 충분히 미분 가능할 때,
  $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!},x^n
  = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots.$$
• 각 항의 계수는 $n$차 도함수 $f^{(n)}(0)$를 $n!$로 나눈 값입니다.

핵심 포인트: 함수의 미분 계수만 알면, 복잡한 함수를 다항식 형태로 근사·분석할 수 있습니다.

대표 함수 전개

1. 지수함수
   $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
   = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots.$$
2. 사인 함수
   $$\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
   = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots.$$
3. 코사인 함수
   $$\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
   = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots.$$
4. 로그 함수 (밑 $1+x$)
   $$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}
   = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots,
   \quad |x|<1.$$

수렴 반경과 조건

• 급수가 유효한 구간(수렴 반경)은 함수별로 다릅니다.
  • $e^x, \sin x, \cos x$: 모든 실수 $x\in\mathbb{R}$에서 수렴
  • $\ln(1+x)$: $|x|<1$ (운용 구간)
• 비교판정법이나 적분판정법으로 급수의 수렴 범위를 검증할 수 있습니다.

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두 급수의 비교와 연결

• 무한등비급수 $\sum b_1r^{n-1}$는 맥클로린 급수 중 $e^x$의 계수를 이용해
  $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},$$
  여기서 $x^n/n!$ 꼴의 급수와 공통점을 찾을 수 있습니다.
• 맥클로린 급수로 표현된 함수 값을, 등비급수 합 공식으로 근사할 수도 있습니다. 예컨대
  $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$$
  중 $n!$이 커지면서 항이 급격히 작아지는 점은, 등비급수의 $|r|<1$ 수렴 조건과 유사합니다.

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응용 예제 및 심화 문제

예제 1: 무한등비급수 응용

반지름 $r<1$인 원의 면적 합
$$A = \pi r^2 + \pi r^4 + \pi r^6 + \cdots
= \pi r^2 \sum_{k=0}^\infty (r^2)^k
= \frac{\pi r^2}{1 - r^2}.$$

예제 2: 맥클로린 급수로 근사

$\sin(0.1)$ 값을 맥클로린 급수 $x - x^3/6$까지 근사
$$\sin(0.1)\approx 0.1 - \frac{0.1^3}{6} = 0.1 - 0.0001667 = 0.0998333\ldots$$

심화 문제

1. 무한등비급수 $\sum_{n=1}^\infty n,r^{n-1}$의 합을 구하시오.
2. 함수 $f(x)=\frac{1}{1-x}$의 맥클로린 급수를 유도하고 수렴 반경을 판정하시오.
3. $\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\frac{x}{n}\bigr)^n$을 맥클로린 급수 관점에서 유도해 보시오.

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결론

무한등비급수와 맥클로린 급수는 모두 무한급수의 특별한 형태로,

• 등비급수는 간단한 수렴 조건과 합 공식으로 빠르게 정리할 수 있고,
• 맥클로린 급수는 함수의 도함수 정보를 활용해 정밀한 다항식 근사를 가능하게 합니다.

두 급수 모두 극한 개념과 수렴 판정법이 밑바탕이므로, 앞서 배운 극한·비교판정·부분합 전략을 함께 연습하면 더욱 탄탄한 이해가 가능합니다. 다양한 함수와 모델에 적용해 보시며, 무한급수의 매력을 직접 경험해 보시기 바랍니다.