수열의 극한 & 귀한 리미트: Cesàro 평균까지

수열의 극한 & 귀한 리미트: Cesàro 평균까지

수열의 극한은 미적분과 급수, 함수 해석학 전반의 기초입니다. 일반적으로 항 $a_n$이 $L$에 수렴하는지, 혹은 발산하는지를 판별하는 데 그치지만, 때론 표준적인 극한 계산법으로 다룰 수 없는 ‘귀한 리미트’가 등장합니다. 대표적인 예가 Cesàro 평균입니다. Cesàro 평균을 적용하면 본래 수렴하지 않는 수열도 ‘평균값’을 통해 새로운 극한값을 얻을 수 있습니다.

이 글에서는

• 수열 극한의 정의와 직관
• 기본 극한 계산 기법과 대표적 특수 리미트
• Cesàro 평균의 정의·성질·응용
• Stolz–Cesàro 정리 간략 소개
• 다양한 예제와 고난도 문제 풀이 전략

를 차례대로 다루어, 수능 고난도·경시·연구형 문제에 모두 대응할 수 있는 실전 감각을 기르도록 하겠습니다.

극한의 정의와 직관

수열 극한의 정의

수열 ${a_n}$이 실수 $L$에 수렴한다는 것은
$$\lim_{n\to\infty}a_n = L
\quad\Longleftrightarrow\quad
\forall \varepsilon>0,;\exists N\in\mathbb{N};\text{s.t.};n\ge N\implies |a_n-L|<\varepsilon.$$
즉, 임의의 작은 거리 $\varepsilon$가 주어져도, 충분히 큰 $n$에 대해 $a_n$이 $L$에 들어온 뒤 더 나가지 않는다는 뜻입니다.

기본 극한 법칙

1. 상수 극한: $\lim a = a$.
2. 덧셈·뺄셈: $\lim(a_n\pm b_n)=\lim a_n\pm\lim b_n$.
3. 곱셈: $\lim(a_n b_n)=\lim a_n\cdot\lim b_n$.
4. 나눗셈: $\lim(a_n/b_n)=\lim a_n/\lim b_n;( \lim b_n\neq0)$.

대표적 특수 리미트

• 지수형:
  • $|r|<1\implies\lim r^n=0$,
  • $r=1\implies\lim r^n=1$,
  • $|r|>1\implies\lim r^n=\pm\infty$.
• 역수형: $\lim_{n\to\infty}\frac1{n^p}=0;(p>0)$.
• 근형: $\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1$.
• 자연상수: $\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\frac1n\bigr)^n = e$.

이 외에도 $\lim \frac{n!}{n^n}=0$, $\lim \sqrt[n]{a_n}=\lim|a_n|^{1/n}$ 등을 자주 이용합니다.

Cesàro 평균의 정의와 성질

Cesàro 평균 정의

수열 ${a_n}$의 Cesàro 평균 ${\sigma_n}$은
$$\sigma_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k.$$
본래 ${a_n}$이 수렴하지 않더라도, Cesàro 평균 $\sigma_n$이 수렴하는 경우가 있습니다.

기본 성질

1. 만약 $\lim_{n\to\infty}a_n=L$이면 반드시 $\lim_{n\to\infty}\sigma_n=L$입니다.
2. 반대로 $\sigma_n$이 수렴해도 $a_n$은 수렴하지 않을 수 있습니다.
3. Cesàro 평균이 수렴하는 수열을 Cesàro 수렴한다고 합니다.

교대 수열 예제

$a_n = (-1)^{n-1}$일 때,
$$\sum_{k=1}^n a_k
=1 -1 +1 -1 +\cdots
=\begin{cases}1,&n\text{이 홀수},\0,&n\text{이 짝수}.\end{cases}$$
따라서
$$\sigma_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k
=\begin{cases}\frac{1}{n},&n\text{홀수},\0,&n\text{짝수}.\end{cases}$$
이는 $\lim\sigma_n=0$으로, Cesàro 평균을 취하면 수렴값을 얻습니다.

Stolz–Cesàro 정리

정리

두 수열 ${a_n},{b_n}$가 있고, $b_n$이 단조증가하여 $\lim b_n=\infty$일 때,
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\quad\Longrightarrow\quad
\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{b_1+\cdots+b_n}=L.$$
이를 이용하면 일반적인 분수형 Cesàro 평균도 쉽게 판정할 수 있습니다.

활용 예

$a_n=n$이고 $b_n=1$이라면,
$$\lim\frac{a_n}{b_n}=\lim n=\infty
\implies\lim\frac{1+2+\cdots+n}{1+1+\cdots+1}
=\lim\frac{n(n+1)/2}{n}=\lim\frac{n+1}{2}=\infty.$$

대표 예제와 풀이 전략

예제 1: $a_n=n\mod2$의 Cesàro 평균

$a_n=0,1,0,1,\dots$일 때
$$\sum_{k=1}^n a_k = \lfloor n/2\rfloor,\quad
\sigma_n=\frac{\lfloor n/2\rfloor}{n};\xrightarrow[n\to\infty]{};\tfrac12.$$

예제 2: $a_n=\sin(n\theta)$, $\theta/\pi\notin\mathbb{Q}$

이 경우도 $\sigma_n\to0$임이 알려져 있습니다(이심률 분포 이용).

예제 3: 극한 계산이 어려운 급수

$a_n = \bigl(1+\frac1n\bigr)^n$은 $\lim a_n=e$.
그러나 $\sigma_n$도 역시 $e$로 수렴함을 확인할 수 있습니다.

사고력 확장 문제

1. $a_n = (-1)^n/n$일 때, $\lim a_n$과 $\lim\sigma_n$을 구하시오.
2. $a_n = n^{1/n}$의 Cesàro 평균을 구하고, 그 극한값을 판단하시오.
3. Stolz–Cesàro 정리를 이용해 $\lim\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$을 구하시오.

결론

Cesàro 평균과 Stolz–Cesàro 정리는 수열 극한의 범주를 확장하는 강력한 도구입니다. 본래 수렴하지 않는 수열에서도 ‘평균’을 통해 극한값을 확보할 수 있어, 수능 고난도·경시·연구형 문제 해결에 큰 도움이 됩니다. 오늘 배운 개념과 예제를 반복 학습하시어, 귀한 리미트도 자신 있게 다루시는 실력을 갖추시기 바랍니다.