정적분 정의 & 적분법칙 증명

정적분 정의 및 기초 개념

정적분의 의미

정적분(定積分, definite integral)은 함수 $f(x)$가 구간 $[a,b]$ 위에서 만들어내는 넓이나 전체 누적량을 엄밀하게 정의하기 위한 도구입니다. 직관적으로는 구간 $[a,b]$ 위에 그린 곡선 아래 면적을 가리키지만, 보다 일반적으로는 물리적 누적량(거리·일·전하 등)이나 통계적 누적분포를 계산할 때도 사용됩니다.

정적분은 리만 합(Riemann sum) 을 이용해 다음과 같이 정의됩니다.

1. 구간 $[a,b]$를 $n$개의 작은 구간으로 분할:
   $$
   a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b,
   \quad \Delta x_i = x_i - x_{i-1}.
   $$
2. 각 소구간 $[x_{i-1},x_i]$에서 임의의 표본점 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$를 선택.
3. 리만 합(Riemann sum) 구성:
   $$
   S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i),\Delta x_i.
   $$
4. 분할 크기 $\max\Delta x_i$가 0에 수렴할 때 리만 합이 일정한 값 $I$에 수렴하면,
   $$
   \int_a^b f(x),dx
   = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i),\Delta x_i
   = I.
   $$

이 정의를 통해 ‘함수값 × 구간 길이’들의 총합이 극한 과정을 거쳐 곡선 아래 면적이나 누적량을 정확히 계산하게 됩니다.

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정적분의 주요 성질 및 증명

선형성: 상수배·덧셈 법칙

함수 $f,g$가 구간 $[a,b]$에서 정적분 가능하고 $c,d$가 상수일 때, 다음 선형성(linearity)이 성립합니다.
$$
\int_a^b \bigl(c,f(x) + d,g(x)\bigr),dx
= c\int_a^b f(x),dx + d\int_a^b g(x),dx.
$$
증명 개요: 리만 합 정의에서
$$
\sum_{i=1}^n [c,f(\xi_i) + d,g(\xi_i)]\Delta x_i
= c\sum f(\xi_i)\Delta x_i + d\sum g(\xi_i)\Delta x_i.
$$
극한을 취해 상수는 밖으로 꺼내며, 두 리만 합의 극한 합으로 분리하여 증명합니다.

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구간 분할(additivity) 법칙

연속하는 구간으로 구분해 적분값을 더할 수 있는 성질입니다.
$$
\int_a^b f(x),dx
= \int_a^c f(x),dx + \int_c^b f(x),dx,
\quad a<c<b.
$$
증명 개요: $[a,b]$ 분할 시 $c$를 포함하도록 점을 추가하고 리만 합을 두 부분 합으로 분리한 뒤 극한을 취하면 자연스럽게 도출됩니다.

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순서 반전 및 구간 교환

함수 $f$가 정적분 가능할 때,
$$
\int_b^a f(x),dx = -\int_a^b f(x),dx.
$$
이는 분할 순서를 거꾸로 취하면 $\Delta x_i$ 부호가 모두 반대가 되는 점을 이용하여 증명할 수 있습니다.

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비교법칙(comparison)

구간 $[a,b]$에서 $f(x)\le g(x)$를 만족하면,
$$
\int_a^b f(x),dx ;\le; \int_a^b g(x),dx.
$$
리만 합 수준에서 각 항목 $f(\xi_i)\Delta x_i \le g(\xi_i)\Delta x_i$ 이므로, 전체 극한값도 부등식이 유지됩니다.

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정적분 계산의 핵심: 기본 공식

다항함수 적분

$$
\int x^n,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad(n\neq -1)
$$
리만 정의를 이용한 엄밀 증명 대신, 미분의 역관계(Fundamental Theorem of Calculus)를 통해 확인합니다.

지수·로그·삼각 기본

• $$\int e^x,dx = e^x + C.$$
• $$\int a^x,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\quad(a>0,a\neq1).$$
• $$\int \frac{1}{x},dx = \ln|x| + C.$$
• $$\int \sin x,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x,dx = \sin x + C.$$

이들 기본 공식은 원함수를 알고 있을 때, 정적분 정의와 기본 미분 공식을 역으로 적용하여 바로 유도할 수 있습니다.

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여러 적분 기법과 응용

치환적분

정적분에도 동일하게 적용하며,
$$
\int_a^b f\bigl(h(x)\bigr),h'(x),dx
= \int_{h(a)}^{h(b)} f(u),du.
$$
리만 합으로 보면, 구간 분할이 $x$ 대신 $u=h(x)$에 대응되어 치환한 리만 합의 극한이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

부분적분

정적분 형태로도 쓰이며,
$$
\int_a^b u,dv
= \Bigl[u,v\Bigr]_a^b - \int_a^b v,du.
$$
미분의 곱의 법칙을 역으로 적용하고, 정적분의 구간 분할 성질을 이용하여 증명됩니다.

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결론 및 활용 팁

1. 리만 합 정의를 한 번쯤 곱씹으면, 선형성·구간 분할·순서 반전 등 적분법칙이 모두 명료해집니다.
2. 실제 계산에서는 미적분 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus) 를 통해 원함수를 사용하되, 적분법칙 증명은 정의에 기반해 숙지하세요.
3. 치환·부분적분 전략을 부정적분과 결합하여 복잡한 정적분도 단계별로 풀어낼 수 있습니다.

정적분 정의와 각종 적분법칙의 증명 과정을 이해하면, 단순 계산을 넘어 적분법칙을 응용한 다양한 물리·공학·통계 문제도 자신 있게 풀 수 있습니다.