지수법칙 증명과 로그 공식 - 지수·로그 함수 핵심 패턴

지수·로그 함수 핵심 패턴: 지수법칙 증명과 로그 공식

지수함수와 로그함수는 고등학교 이과 수학에서 급수, 미분·적분, 확률통계, 수열 등 다양한 심화 단원의 토대를 이룹니다. 특히 지수법칙과 로그 공식은 각종 계산에서 반복적으로 등장하는 필수 패턴이므로, 원리 증명을 통해 체계적으로 숙지하는 것이 중요합니다.

이번 포스팅에서는

1. 지수함수의 정의와 주요 성질
2. 지수법칙(곱셈·나눗셈·거듭제곱)의 엄밀한 증명
3. 로그함수 기본 개념 및 성질
4. 로그 공식(곱·몫·거듭제곱)의 유도
5. 활용 패턴과 대표 예제
   를 순서대로 정리합니다.

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지수함수 개념 및 주요 성질

지수함수 정의

• 밑(base) (a)가 양수이며 (a\neq1)일 때,
  $$a^x=\exp(x\ln a)$$
  로 정의하며, 실수 전체에 걸쳐 값이 유일하게 결정됩니다.

주요 성질

• (\exp) 함수의 연속성·단조성 덕분에 (a^x)도 전 구간에서 연속·단조증가((a>1)) 또는 단조감소((0<a<1))를 가집니다.
• (a^0=1), (a^1=a) 기본 값
• (\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x)와 (\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x) 값

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지수법칙 증명

곱셈 법칙: (a^m\cdot a^n=a^{m+n})

$$
\begin{aligned}
a^m\cdot a^n
&=\exp(m\ln a),\exp(n\ln a)\
&=\exp\bigl((m+n)\ln a\bigr) = a^{m+n}.
\end{aligned}
$$

나눗셈 법칙: (\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n})

$$
\frac{a^m}{a^n}
=\exp(m\ln a),\exp(-n\ln a)
=\exp\bigl((m-n)\ln a\bigr)
=a^{m-n}.
$$

거듭제곱 법칙: (\bigl(a^m\bigr)^n=a^{mn})

$$
\bigl(a^m\bigr)^n
=\exp\bigl(n\ln(a^m)\bigr)
=\exp\bigl(n\cdot m\ln a\bigr)
=a^{mn}.
$$

핵심 포인트: 위 증명은 모두 $$a^x=\exp(x\ln a)$$ 정의와 지수법칙, 로그의 성질((\ln a^m=m\ln a)) 만으로 이루어집니다.

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로그함수 개념 및 특성

로그함수 정의

• 지수함수 (y=a^x)의 역함수로,
  $$y=\log_a x\quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x.$$
• 정의역 (x>0), 치역은 모든 실수.

주요 성질

• (\log_a1=0), (\log_a a=1)
• 단조증가((a>1)) 또는 단조감소((0<a<1))
• 연속성·미분 가능성:
  $$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}.$$

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로그 공식 유도

곱의 법칙: (\log_a(xy)=\log_a x + \log_a y)

$$
\begin{aligned}
y_1&=\log_a x,\quad y_2=\log_a y\
xy&=a^{y_1}\cdot a^{y_2}=a^{,y_1+y_2}\
\log_a(xy)&=y_1+y_2
=\log_a x + \log_a y.
\end{aligned}
$$

몫의 법칙: (\displaystyle\log_a\frac{x}{y}=\log_a x - \log_a y)

$$
\frac{x}{y}
=\frac{a^{y_1}}{a^{y_2}}
=a^{y_1-y_2}
\quad\Longrightarrow\quad
\log_a\frac{x}{y}=y_1-y_2.
$$

거듭제곱 법칙: (\log_a(x^r)=r\log_a x)

$$
x^r = a^{,r\log_a x}
\quad\Longrightarrow\quad
\log_a(x^r)=r\log_a x.
$$

밑 변환 공식

$$
\log_b x
= \frac{\ln x}{\ln b}
= \frac{\log_a x}{\log_a b}.
$$

팁: 밑 변환 공식은 서로 다른 밑의 로그를 계산할 때 빠르게 활용할 수 있습니다.

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지수·로그 함수 활용 패턴

1. 지수방정식 변환
   • (a^x=b) 형태 → (x=\log_a b)로 즉시 풀이
2. 로그방정식 해법
   • (\log_a f(x)=C) 형태 → (f(x)=a^C)로 변환
3. 복합 함수 미분
   • (y=a^{g(x)}) → (\displaystyle y' = a^{g(x)},g'(x)\ln a)
   • (y=\log_a(g(x))) → (\displaystyle y' = \frac{g'(x)}{g(x),\ln a})
4. 그래프 상 특징
   • 지수함수: 점근선 (y=0), 로그함수: 점근선 (x=0)

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대표 예제와 풀이

예제 1. 지수방정식

$$2^{3x-1} = 8$$
풀이: (8=2^3) 이므로
$$3x-1=3\quad\Longrightarrow\quad x= \tfrac{4}{3}.$$

예제 2. 로그방정식

$$\log_3(x^2-1)=2$$
풀이:
$$x^2-1 = 3^2 = 9\quad\Longrightarrow\quad x^2=10\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{10},$$
단, 정의역 (x^2-1>0) 조건 만족.

예제 3. 미분 활용

$$y = 5^{2x^2+1}$$
풀이:
$$y' = 5^{2x^2+1}\cdot (4x)\ln5.$$

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사고력 확장 문제

1. (a>0,,a\neq1)일 때, 방정식 (\displaystyle a^{x+1}+a^{1-x}=k)의 해 개수를 (k)에 따라 판별하시오.
2. 로그함수의 그래프와 지수함수의 그래프가 교차하는 지점을 분석하여, 해 존재 여부와 좌표를 구하시오.
3. 치환 (u=\log_a x)를 이용해 복잡한 로그식을 단순화하고, 대수적으로 증명해 보세요.

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결론

지수법칙과 로그 공식은 모두 $$a^x=\exp(x\ln a)$$ 정의와 역함수 관계를 통해 도출됩니다. 엄밀한 증명 과정을 숙지하면 각종 방정식·미분·적분 문제에서 패턴 인식이 빨라지고, 고난도 수능 문제도 체계적으로 접근할 수 있습니다. 오늘 정리한 핵심 패턴을 반복 연습하셔서, 지수·로그 함수 활용 능력을 완성하시길 바랍니다.