일대일·전사·역함수 기본 - 함수의 정의와 그래프 언어

일대일·전사·역함수 기본 - 함수의 정의와 그래프 언어

고등학교 이과 수학에서 함수(Function) 는 집합과 명제, 실수체계를 기반으로 수학 전 분야로 뻗어 나가는 핵심 개념입니다. 함수는 두 집합 사이의 대응 관계를 표현하며, 정의역에서 치역으로 가는 “입력 → 출력” 과정을 수식·그래프·도식으로 다각도로 이해해야 합니다. 특히 일대일·전사·역함수 개념은 미분·적분·확률·통계·벡터 등 심화 단원에서 “함수의 가역성”이나 “함수 역변환”을 다룰 때 반드시 필요합니다.

이번 포스팅에서는

1. 함수의 정의와 표기법
2. 일대일 함수(Injective)
3. 전사 함수(Surjective)
4. 역함수(Inverse Function) 기본
5. 그래프 언어(映像圖·Mapping Diagram·Coordinate Graph)
   를 차례로 살펴보고, 대표 예제와 사고력 확장 문제를 통해 이해를 깊게 다져 보겠습니다.

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함수의 정의와 표기법

함수의 개념

• 두 집합 $A, B$가 있을 때, 정의역 $A$의 각 원소 $x$에 대해 치역 $B$의 원소 $y$ 하나를 대응시키는 규칙을 함수라고 합니다.
• 기호 표기:
  $$
  f: A \to B,\quad y = f(x)
  $$
  여기서
  • $A$: 정의역(Domain)
  • $B$: 공역(Codomain)
  • $f(x)$: 함숫값(Value)
  • 실제 대응된 $y$들의 집합을 치역(Range) 또는 $f(A)$라고 적습니다.

함수의 표현 방법

1. 대응쌍(set of ordered pairs)
   $$
   f = {(x,,f(x)) \mid x\in A}
   $$
2. Mapping Diagram(映像圖)
   • 두 집합 원소를 화살표로 연결한 그림.
3. Coordinate Graph(좌표평면 그래프)
   • 실수함수의 경우, 점 $(x, f(x))$를 좌표평면 위에 찍고 선으로 연결.
   • 수능에서는 그래프를 통해 최대값·최소값·증감성 등을 판별합니다.

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일대일 함수 (Injective)

정의

함수 $f:A\to B$가 일대일이라 함은
$$
\forall x_1, x_2\in A,; f(x_1)=f(x_2);\Longrightarrow; x_1=x_2
$$
즉, 서로 다른 입력에 서로 다른 출력이 대응될 때 일대일이라 합니다.

그래프 언어

• Coordinate Graph: 수직선 위의 수평선 테스트(Horizontal Line Test)
  • 그래프 위에 임의의 수평선(예: $y=k$)을 그었을 때, 교점이 한 점 이하이면 일대일.
• Mapping Diagram: 정의역의 서로 다른 원소가 공역에서 서로 다른 원소로 가는지 확인.

성질 및 활용

• $f$가 일대일이면 역함수 $f^{-1}$의 정의역을 치역으로, 치역을 정의역으로 바꾼 뒤 대응 관계를 뒤집을 수 있습니다.
• 미분학에서 도함수 $f'(x)$의 부호 변화만으로 일대일 여부를 빠르게 판단하기도 합니다.

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전사 함수 (Surjective)

정의

함수 $f:A\to B$가 전사라 함은
$$
\forall y\in B,;\exists,x\in A;\text{such that};f(x)=y
$$
즉, 공역 $B$의 모든 원소가 적어도 하나 이상의 정의역 원소에 의해 도달될 때 전사입니다.

그래프 언어

• Coordinate Graph: 공역의 모든 $y$값에 대응되는 $x$가 존재하는지, 그래프가 위아래로 “빈틈 없이” 뻗어 있는지 확인.
• Mapping Diagram: 공역의 각 원소에 화살표가 최소 하나씩 연결되어 있는지 체크.

성질 및 활용

• 전사인 함수는 치역 = 공역이므로, 역함수가 정의되는 충분조건 중 하나입니다.
• 대수적으로 방정식 $f(x)=y$의 해 존재 여부를 전사 개념으로 설명할 수 있습니다.

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전단사 함수와 역함수 기본

전단사 함수(Bijective)

• 일대일이면서 전사인 함수.
• 전단사 함수는 반드시 역함수 $f^{-1}:B\to A$가 존재합니다.

역함수 정의

$$
f^{-1}(y)=x\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=y
$$

• 역함수의 그래프는 원래 함수 그래프를 $y=x$ 직선을 기준으로 대칭 이동한 형태입니다.
• 역함수 존재 요건: 전단사(bijective)여야만 합니다.

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그래프 언어 심화

Mapping Diagram vs Coordinate Graph

• Mapping Diagram: 이산 함수(유한 집합 매핑) 문제에 유리.
• Coordinate Graph: 연속 함수, 실수함수 문제에 주로 사용.
• 수능 출제 경향:
  1. 그래프 위 점 이동 경로를 묻는 문제
  2. 일대일·전사 판정(수평·수직선 테스트)
  3. 역함수 그래프 그리기

수식 ↔ 그래프 전환 연습

• 예: $f(x)=2x+1$ → 기울기 $2$, y절편 $1$
• 역함수 $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$ → 기울기 $\tfrac12$, y절편 $-\tfrac12$

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대표 예제와 풀이

예제 1

$A={1,2,3},,B={a,b,c}$일 때,
$$
f:;1\mapsto a,;2\mapsto b,;3\mapsto a
$$
– 일대일? 전사? 전단사?

풀이:

• 일대일? NO (1과 3이 같은 $a$로 대응)
• 전사? NO ($c$에 화살표 없음)
• 전단사? 당연히 NO

예제 2

함수 $g:\mathbb R\to \mathbb R$ 정의 $g(x)=x^3$.
– 일대일? 전사? 전단사? 역함수?

풀이:

• 일대일: Yes ($x^3$은 단조 증가)
• 전사: Yes (모든 실수 $y$에 대해 $x=\sqrt[3]{y}$ 존재)
• 전단사: Yes
• 역함수: $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$

예제 3

실수 함수 $h:\mathbb R\to \mathbb R$ 정의 $h(x)=x^2+1$.
– 일대일? 전사?

풀이:

• 일대일: NO (예: $h(1)=h(-1)$)
• 전사: NO (치역 $y\ge1$, $y<1$인 값 도달 불가)

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사고력 확장 문제

1. $f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$ 함수가 정의역 $\mathbb R\setminus{-1}$에서 일대일·전사인지 판정하고, 가능하다면 역함수를 구하시오.
2. 좌표평면 위에서 일대일·전사 함수가 아닌 경우에도 부분구간에서 전단사가 될 수 있는 조건을 그래프로 설명하시오.
3. Mapping Diagram으로 표현된 함수를 보고 일대일·전사 여부를 빠르게 판별하는 요령을 스스로 정리해 보세요.

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결론

함수의 기본 개념과 그래프 언어는 모든 수학 단원의 뼈대를 이룹니다. 일대일·전사 판정법을 익히면 역함수의 존재 여부가 명확해지고, 수평선·수직선 테스트를 통해 그래프만 보고도 성질을 빠르게 파악할 수 있습니다. 역함수 개념은 대수적 변환뿐 아니라 미분방정식 풀이나 확률변수 변환에도 필수적이므로, 오늘 정리한 내용을 바탕으로 다양한 함수를 직접 그려 보시기 바랍니다. 다음 포스팅에서는 “여러 가지 함수 종합” 단원에서 그래프 해석 문제를 심화해 다루겠습니다. 감사합니다.

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