일반각·라디안·주기·그래프 - 삼각함수 공식 완전 가이드

일반각·라디안·주기·그래프 - 삼각함수 공식 완전 가이드

고등학교 이과 수학에서 삼각함수는 기하, 미적분, 물리 등 다양한 분야와 연결되는 핵심 개념입니다. 특히 일반각, 라디안, 주기성, 함수 그래프를 정확히 이해해야만 수능 고난도 문제는 물론, 공학적 응용 문제도 자신 있게 풀 수 있습니다.

이번 포스팅에서는 다음 네 가지 주제를 중심으로 삼각함수를 완전 정리합니다.

1. 일반각의 정의와 표준 위치
2. 라디안과 도(度) 간 변환
3. 삼각함수의 주기성과 성질
4. 사인·코사인·탄젠트 함수 그래프 해석

각 영역별로 개념 정의, 핵심 공식, 대표 예제, 심화 팁을 제시하여, 삼각함수 전 범위를 체계적으로 다루겠습니다.

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일반각의 정의와 표준 위치

일반각의 개념

• 일반각(General Angle) 이란 단위원(반지름이 1인 원)의 중심각을 연장하여, 출발선(양의 x축)에서부터 측정한 각입니다.
• 양의 방향(반시계)은 양각, 음의 방향(시계)은 음각으로 표현합니다.

각의 표준 위치

• 표준 위치란, 각의 꼭짓점이 원점, 한 변이 양의 x축, 다른 변이 각을 이루는 위치를 말합니다.
• 예시: $$\alpha=45^\circ$$ 는 양의 x축에서 반시계 방향으로 45°만큼 돌아간 지점을 가리킵니다.

사분면과 각의 크기

사분면	범위	각 범위 예시
제1사분면	$$0^\circ<\theta<90^\circ$$	양각, 사인·코사인 모두 양수
제2사분면	$$90^\circ<\theta<180^\circ$$	사인 양수, 코사인 음수
제3사분면	$$180^\circ<\theta<270^\circ$$	사인·코사인 모두 음수
제4사분면	$$270^\circ<\theta<360^\circ$$	사인 음수, 코사인 양수

팁: “CAST” 규칙(코사인, 아크, 사인, 탄젠트 순)으로 사분면별 함수 부호를 빠르게 기억하세요.

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라디안과 도(度) 간 변환

라디안의 정의

• 라디안(radian) 은 원호의 길이가 반지름과 같을 때의 중심각으로,
  $$1\ \text{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}$$
• 즉, $$2\pi\ \text{rad}=360^\circ$$ 임을 이용하여 변환합니다.

변환 공식

• 도(degree) → 라디안:
  $$\theta,[\text{rad}]=\theta^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}$$
• 라디안 → 도:
  $$\phi^\circ=\phi,[\text{rad}]\times\frac{180^\circ}{\pi}$$

대표 값

도(°)	$$0^\circ$$	$$30^\circ$$	$$45^\circ$$	$$60^\circ$$	$$90^\circ$$
라디안	$$0$$	$$\frac{\pi}{6}$$	$$\frac{\pi}{4}$$	$$\frac{\pi}{3}$$	$$\frac{\pi}{2}$$

심화 팁: 수능에서는 분모가 6, 4, 3, 2인 라디안 값이 자주 출제되므로 반드시 암기하세요.

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삼각함수의 주기성과 성질

삼각함수 기본 정의

• 단위원 위 점 $P(x,y)$에 대해, 각 $\theta$에 대응하는 좌표를 $P(\cos\theta,\sin\theta)$라 정의합니다.
• 탄젠트 함수는 $$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\quad(\cos\theta\neq0)$$

주기성

함수	주기	성질
사인 함수 $\sin\theta$	$$2\pi$$	$\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$
코사인 함수 $\cos\theta$	$$2\pi$$	$\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$
탄젠트 함수 $\tan\theta$	$$\pi$$	$\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$

• 짝함수/홀함수
  • $\cos(-\theta)=\cos\theta$ (짝함수)
  • $\sin(-\theta)=-\sin\theta$ (홀함수)
  • $\tan(-\theta)=-\tan\theta$ (홀함수)

그래프 변환 기본

• 좌우 이동: $\sin(\theta-\alpha)$ → 그래프를 오른쪽 $\alpha$만큼 이동
• 상하 이동: $\sin\theta + k$ → 그래프를 위로 $k$만큼 이동
• 확대·축소: $A\sin(B\theta)$ → 진폭 $|A|$, 주기 $\frac{2\pi}{|B|}$

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사인·코사인·탄젠트 그래프 해석

사인 함수 그래프

• 기본 모양: 원점 통과, 제1사분면에서 상승
• 극값: $$\sin\theta=1\text{ at }\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad\sin\theta=-1\text{ at }\theta=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$$
• 영점: $$\theta=k\pi$$

코사인 함수 그래프

• 기본 모양: $(0,1)$에서 시작, 제1사분면에서 하강
• 극값: $$\cos\theta=1\text{ at }\theta=2k\pi,\quad\cos\theta=-1\text{ at }\theta=\pi+2k\pi$$
• 영점: $$\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

탄젠트 함수 그래프

• 기본 모양: 주기 $\pi$, 수직점근선 $\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$
• 영점: $$\tan\theta=0\text{ at }\theta=k\pi$$
• 함수 값의 범위: 모든 실수 $$(-\infty,\infty)$$

그래프 스케치 요령

1. 정의역과 주기, 점근선 위치 표시
2. 대표점(영점·극값) 연결
3. 단조 구간에서 부드럽게 곡선 완성

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대표 예제

예제 1. 주기 조정 후 그래프

함수 $$y=3\sin\bigl(2\theta - \frac{\pi}{4}\bigr)+1$$ 의

• 진폭,
• 주기,
• 위상 이동,
• 수직 이동을 구하고 그래프를 간략히 묘사하시오.

풀이

• • 진폭: $|3|=3$
  • 주기: $\frac{2\pi}{2}=\pi$
  • 위상 이동: $\theta=\frac{\pi}{8}$만큼 오른쪽 이동
  • 수직 이동: +1

예제 2. 라디안 방정식 해

$$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad 0\le\theta<2\pi$$

풀이

• 기본 해: $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$
• 추가 주기: 제1, 제2사분면 → 두 해

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결론

이번 포스팅에서 일반각의 표준 위치부터 라디안 변환, 주기성과 그래프 해석까지 삼각함수의 핵심 요소를 완전 정리했습니다. 각 개념별 정의와 공식, 대표 예제를 바탕으로 다양한 응용 문제를 풀어 보시길 권장드립니다. 다음 포스팅에서는 함수의 극한·연속성을 주제로 미적분 전 단계를 탄탄히 다져 보겠습니다.