유리수·무리수·절댓값·좌표축 이해: 실수체계 총정리

실수체계 총정리: 유리수·무리수·절댓값·좌표축 이해

고등학교 이과 수학에서 실수체계는 모든 수학 개념의 토대가 됩니다. 실수는 수 체계의 최상위 개념으로, 유리수와 무리수 두 갈래로 나뉘며, 절댓값과 좌표축 이해를 바탕으로 함수, 미적분, 확률·통계 등 모든 심화 단원을 연결해 줍니다. 이번 포스팅에서는

1. 실수체계의 전반적 구조
2. 유리수와 무리수의 정의와 특징
3. 절댓값의 성질
4. 좌표축과 좌표평면 기초
   를 차례로 정리하고, 대표 예제와 심화 문제로 사고력을 확장해 보겠습니다.

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실수체계의 개요

수 체계 분류

실수(real number)는 모든 유한소수, 순환소수, 무한비순환소수를 포함하는 개념입니다. 수 체계는 크게 다음과 같이 분류됩니다.

• 자연수 $\mathbb{N}={1,2,3,\dots}$
• 정수 $\mathbb{Z}={\dots,-2,-1,0,1,2,\dots}$
• 유리수 $\mathbb{Q}={,\frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},,q\in\mathbb{N}}$
• 무리수 $\mathbb{I}={\text{무한비순환소수}}$
• 실수 $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$

포인트: 실수는 유리수와 무리수의 합집합이며, 모든 함수 정의역·공역 설정의 출발점이 됩니다.

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유리수의 정의와 특징

• 정의: 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수, 즉 $$x\in\mathbb{Q} \iff x=\frac{p}{q};(p\in\mathbb{Z},,q\in\mathbb{N})$$
• 표현: 유한소수(예: 0.75), 순환소수(예: 0.\overline{3}=0.333\ldots)
• 성질:
  1. 유리수끼리의 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈은 언제나 유리수
  2. 순환소수는 반드시 유리수로 표현 가능
  3. 유리수의 크기 비교는 분수 통분 또는 소수 전개로 판별

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무리수의 정의와 특징

• 정의: 분수로 나타낼 수 없는 무한비순환소수
• 대표 예: $$\sqrt{2}=1.4142135\ldots,\quad \pi=3.1415926\ldots$$
• 성질:
  1. 유리수와 무리수의 합은 무리수
  2. 무리수끼리의 연산 결과는 유리수가 될 수도, 무리수가 될 수도 있음
  3. 실수체계의 연속성(순서성)을 보장: 실수 전체는 빈틈 없이 채워진 선

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절댓값의 개념과 성질

• 정의: 수직 거리 개념으로, $$|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\-x,&x<0.\end{cases}$$
• 기본 성질:
  1. $|x|\ge0$, $|x|=0\iff x=0$
  2. $|ab|=|a||b|$, $|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|};(b\neq0)$
  3. 삼각부등식: $$|a+b|\le|a|+|b|,\quad \bigl||a|-|b|\bigr|\le|a-b|$$
• 응용: 거리 정의, 부등식 풀기, 오차 범위 표현

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좌표축과 좌표평면 이해

x축과 y축

• x축: 가로 방향 실수직선, 수평 거리 표시
• y축: 세로 방향 실수직선, 수직 거리 표시

사분면과 좌표표기

• 제1사분면: $(+,+)$
• 제2사분면: $(-,+)$
• 제3사분면: $(-,-)$
• 제4사분면: $(+,-)$
• 점의 표기: 점 $P$의 좌표 $(x,y)$는 x축에서 $x$, y축에서 $y$만큼 떨어진 위치

절댓값과 좌표의 관계

• 한 점 $P(a,b)$가 원점에서 떨어진 거리 $$d=\sqrt{a^2+b^2}$$
• x축과 평행이동된 선상의 거리는 $|y-k|$, y축과 평행이동된 선상의 거리는 $|x-h|$로 표현

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대표 예제

예제 1. 유리수 판별

소수 0.272727…이 유리수인지 확인하고, 분수로 나타내시오.

풀이: 순환마디가 “27”이므로
$$x=0.\overline{27},;100x=27.\overline{27} \implies 99x=27\implies x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}.$$

예제 2. 절댓값 부등식

부등식 $|2x-3|\le5$를 풀어라.

풀이: 삼각부등식 활용
$$-5\le2x-3\le5\implies -2\le2x\le8\implies -1\le x\le4.$$

예제 3. 사분면 점 거리

점 $A(-3,4)$와 점 $B(2,-1)$ 사이의 거리를 구하시오.

풀이:
$$d=\sqrt{(-3-2)^2+(4-(-1))^2}=\sqrt{(-5)^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$

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심화 문제

1. $\sqrt{3}$이 무리수임을 귀류법으로 증명하고, 소수 전개 패턴을 탐구하시오.
2. 직선 $y=2x+1$ 위의 점 $(x,y)$가 x축에서 떨어진 거리를 절댓값으로 표현하고, 이 값이 3이 될 때의 좌표를 구하시오.
3. 두 실수 $a,b$에 대해 $|a-b|\ge|,|a|-|b|,|$ 임을 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 분석하시오.

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결론

실수체계는 유리수와 무리수로 이루어져 있어 수학 전 분야의 기반이 됩니다. 절댓값을 통해 거리를 수치화하고, 좌표축 위에서 점의 위치를 정확히 표현할 수 있어야 함수·미분·적분·벡터·확률통계 등의 심화 학습이 매끄럽게 이어집니다. 오늘 정리한 개념과 예제를 바탕으로 탄탄한 실수체계 이해를 갖추신다면, 이후 등장하는 모든 수학 개념이 훨씬 명료해질 것입니다. 다음 포스팅에서는 “함수의 정의와 그래프 언어”를 심화해 보겠습니다.