함수의 극한 & 연속성: ε‑δ 정의부터 미분 준비까지

함수의 극한 & 연속성: ε‑δ 정의부터 미분 준비까지

고등학교 이과 수학에서 극한(Limit) 과 연속성(Continuity) 은 미분·적분의 기초가 되는 핵심 개념입니다. 극한을 통해 함수가 어떤 값에 “근접”하는지를 엄밀히 다루고, 연속성을 통해 그래프의 “끊김 여부”를 판별하며, 이를 바탕으로 순간 변화율을 정의할 수 있습니다.

이번 포스팅에서는

1. 극한의 직관적 이해
2. 함수 극한의 정의 및 수열적 접근
3. ε‑δ 정의를 이용한 극한의 엄밀성
4. 연속성의 개념과 유형
5. 미분으로 나아가기 위한 평균·순간 변화율
6. 대표 예제 및 사고력 확장
   순으로 정리하여, 미분 학습 전 반드시 숙지해야 할 극한과 연속성의 전 과정을 다룹니다.

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극한의 개념과 직관

수열적 정의 탐색

• 수열 ${a_n}$이 어떤 값 $L$에 수렴한다는 것은, $n$이 커질수록 $a_n$이 $L$에 가까워진다는 의미입니다.
• 수열 극한의 정의

$$
\lim_{n\to\infty}a_n = L
\quad\Longleftrightarrow\quad
\forall \varepsilon>0,;\exists N;\text{s.t.};n>N\implies|a_n-L|<\varepsilon.
$$

• 이 정의는 이후 함수 극한을 이해하는 발판이 됩니다.

함수 극한의 직관

• 함수 $f(x)$의 극한 $\lim_{x\to a}f(x)=L$은, $x$가 $a$에 “충분히 가까워질 때” $f(x)$가 $L$에 “충분히 가까워진다”는 뜻입니다.
• 그래프 상에서 보면, 점 $(a, L)$ 주변의 작은 “사각형” 안에 대부분의 $(x,f(x))$가 들어가는 모습을 연상할 수 있습니다.

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함수 극한의 정의

분리된 좌·우 극한

• 좌극한: $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=L$
• 우극한: $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=L$
• 두 극한이 모두 존재하고 같을 때 전체 극한이 존재
• $$
  \lim_{x\to a}f(x)=L
  \iff
  \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L.
  $$

일반적인 극한 정의

$$
\lim_{x\to a} f(x) = L
\quad\Longleftrightarrow\quad
\forall \varepsilon>0,;\exists \delta>0;\text{s.t.};
0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-L|<\varepsilon.
$$

• $\varepsilon$는 $f(x)$가 $L$에 얼마나 가까워질지를,
• $\delta$는 $x$가 $a$에 얼마나 가까워져야 하는지를 나타냅니다.

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ε‑δ 정의로 본 극한의 엄밀성

ε‑δ 정의 이해

1. 임의의 작은 양수 $\varepsilon$ 선택
2. 대응하는 $\delta$를 찾는 과정
3. $0<|x-a|<\delta$이면 $|f(x)-L|<\varepsilon$이 성립함을 보임

핵심 포인트: $\delta$는 $\varepsilon$에 대한 함수값의 민감도를 조절하는 역할입니다.

예제: 선형 함수 극한

$f(x)=mx+b$일 때 $\lim_{x\to a}f(x)=ma+b$ 임을 증명해 보겠습니다.

1. $|f(x)-(ma+b)|=|m(x-a)|=|m|\cdot|x-a|$.
2. $\varepsilon>0$가 주어지면, $\delta=\varepsilon/|m|$로 잡으면
   $0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-(ma+b)|<|m|\delta=\varepsilon$.
3. 따라서 $\lim_{x\to a}f(x)=ma+b$.

예제: 이차 함수 극한

$f(x)=x^2$일 때 $\lim_{x\to 2}x^2=4$임을 ε‑δ로 증명:

1. $|x^2-4|=|x-2|\cdot|x+2|$.
2. $x$가 2 근처, 예컨대 $|x-2|<1$이라 가정하면 $|x+2|\le5$.
3. $\varepsilon>0$일 때, $\delta=\min{1,\varepsilon/5}$로 잡으면
   $0<|x-2|<\delta\implies|x^2-4|\le5|x-2|<5\cdot(\varepsilon/5)=\varepsilon$.

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연속성의 개념 및 유형

연속성 정의

함수 $f$가 점 $a$에서 연속이란
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$
를 만족하는 것을 말합니다.

세 가지 연속성 동치 조건

1. $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$이 존재하고,
2. $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$일 때 $L=f(a)$,
3. 좌·우 극한이 존재하고 둘이 $f(a)$와 같을 때.

연속성의 유형

구분	설명	예시 그래프
가 removable	정의역에서 값이 없거나 잘못 정의된 경우 복원 가능	$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1};(x\neq1)$
불연속점(점프)	좌·우 극한은 존재하나 값이 달라 점프 발생	$f(x)=\begin{cases}0&(x<0) \\\ 1&(x\ge0)\end{cases}$
불연속점(무한)	극한이 무한대로 발산하거나 점근선 형성	$f(x)=\frac1{x}$

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미분을 위한 극한 준비

평균 변화율

구간 $[a, a+h]$에서의 평균 변화율(average rate of change)은
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
로 정의합니다.

순간 변화율과 순간 기울기

순간 변화율(instantaneous rate of change)은 평균 변화율의 $h\to0$ 극한:
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
이는 곡선 $y=f(x)$에서 $x=a$일 때 접선의 기울기에 해당합니다.

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대표 예제 및 풀이

예제 1. 극한 계산

$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$

풀이: 인수분해 $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ ($x\neq3$).
따라서 극한값은 $3+3=6$.

예제 2. ε‑δ 증명

$\lim_{x\to0}\sin x =0$을 ε‑δ 정의로 논증:

1. $|\sin x - 0|\le|x|$.
2. $\varepsilon>0$일 때 $\delta=\varepsilon$로 잡으면
   $0<|x|<\delta\implies|\sin x|<|x|<\varepsilon$.

예제 3. 연속성 확인

함수
$$
f(x) =
\begin{cases}
x + 1 & (x \neq 2) \\\
5 & (x = 2)
\end{cases}
$$

좌·우 극한 $\lim_{x\to2}f(x)=3$이지만 $f(2)=5$.
따라서 $x=2$에서 불연속(점프)이며, 나머지 실수에서는 연속.

예제 4. 순간 변화율

$f(x)=x^2$일 때 $x=1$에서의 순간 변화율:
$$f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^2-1^2}{h}
=\lim_{h\to0}\frac{2h+h^2}{h}
=\lim_{h\to0}(2+h)=2.$$

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사고력 확장 문제

$$
f(x)=
\begin{cases}
\frac{\sin x}{x}&(x\neq0) \\\
1&(x=0)
\end{cases}
$$

에서 $x=0$의 극한과 연속성을 판단하고 ε‑δ 증명을 시도하세요.
2. 함수 $g(x)=\sqrt{x}$의 평균 변화율을 구하고, 이를 이용해 $x=4$에서의 순간 변화율을 계산해 보세요.
3. 다음 그래프(제시된 사각형 영역)에서 함수값과 극한값이 일치하는 구간, 불일치하는 구간을 판별하고 그 이유를 설명하세요.

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결론

극한과 연속성은 미분 개념에 앞서 반드시 정복해야 할 수학적 기초입니다. ε‑δ 정의를 통해 함수값이 목표 값에 얼마나 정밀히 다가가는지를 수치적으로 제어하고, 연속성 개념으로 함수 그래프의 연속·불연속 특성을 분류할 수 있습니다. 이후 미분에서는 순간 변화율이라는 극한 개념을 활용해 접선의 기울기, 최적화 문제, 물리적 속도 계산 등 다양한 분야로 확장됩니다. 오늘 정리한 극한과 연속성의 원리와 예제를 반복 학습하시어, 미분 학습을 위한 탄탄한 토대를 마련하시기 바랍니다.