다항·유리·무리·절댓값 함수 비교

여러 가지 함수 종합: 다항·유리·무리·절댓값 함수 비교

고등학교 이과 수학에서 함수는 다양하게 분류되지만, ‘다항·유리·무리·절댓값 함수’ 네 가지는 특히 수능과 심화 학습에서 자주 등장하는 핵심 유형입니다. 각 함수는 정의역·치역, 그래프 모양, 연속성과 미분 가능성, 특수 성질이 다르기 때문에, 비교를 통해 특징을 정확히 파악해야 고난도 문제도 빠르게 해결할 수 있습니다.

이번 포스팅에서는

1. 각 함수의 정의 및 그래프 특징
2. 공통점·차이점 요약 비교
3. 대표 예제로 이해력 점검
4. 수능 응용 팁
   순으로 정리하여, 네 함수 유형을 한눈에 파악하는 데 도움을 드리겠습니다.

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다항함수

정의 및 일반형

• 정의: $$f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\quad(a_n\neq0,;n\in\mathbb N)$$
• 차수($n$)에 따라 그래프 모양이 달라지며, 차수가 짝수일 때는 양끝이 같은 방향으로, 홀수일 때는 반대 방향으로 뻗습니다.

그래프 특징

• 연속성: 전 구간에서 연속
• 미분 가능성: 전 구간에서 미분 가능
• 극한: $$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\text{ (차수·계수에 따라 결정)}$$
• 극값·변곡점: $$f'(x)=0$$ 해를 통해 증가·감소 구간 및 구부림 변화를 파악

활용 팁

• 극값 문제: 도함수 부호 변화 그래프로 시각화
• 근의 분포: 인수분해 후 $x$-절편 위치로 그래프 윤곽 잡기

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유리함수

정의 및 일반형

• 정의: $$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\quad(P,Q\text{는 다항식},,Q(x)\neq0)$$
• 정의역 제한: $Q(x)=0$인 점 제외

그래프 특징

• 수직점근선: $Q(x)=0$ 해 $x=a$에서 발생
• 수평·사선점근선:
  • $\deg P < \deg Q$ → $y=0$
  • $\deg P = \deg Q$ → $y=\dfrac{\text{P의 최고차 계수}}{\text{Q의 최고차 계수}}$
  • $\deg P = \deg Q + 1$ → $y$는 몫 다항식인 사선점근선
• 불연속점: 정의역 제외 점에서 그래프가 끊어짐

활용 팁

• 점근선을 먼저 그려 곡선의 ‘틀’을 잡은 뒤, 세부 형태를 보강
• 수평선 테스트로 일대일 여부 판정

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무리함수

정의 및 일반형

• 정의: $$f(x)=\sqrt[m]{P(x)}\quad\text{또는}\quad f(x)=P(x)^{\alpha};(\alpha\notin\mathbb Q)$$
• 정의역 제약:
  • 짝수차 루트: $P(x)\ge0$
  • 분모에 무리수가 있으면 추가 제한

그래프 특징

• 연속성: 정의역 내부에서 연속
• 미분 가능성: 정의역 내부에서는 가능하나, 루트가 0이 되는 경계점에서는 미분 불가
• 그래프 형태: 예를 들어 $y=\sqrt{x}$는 $x\ge0$에서 오른쪽 위로 완만히 증가

활용 팁

• $u=P(x)$ 치환 후 다항함수처럼 다루기
• 정의역 표시와 시작·끝점 정확히 마킹

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절댓값함수

정의 및 일반형

• 정의: $$f(x)=|P(x)|$$
• 분절 표현:

$$ |P(x)| = \begin{cases} P(x), & P(x)\ge0, \\ -P(x), & P(x)<0. \end{cases} $$

그래프 특징

• 연속성: 전 구간에서 연속
• 미분 가능성: $P(x)=0$인 지점에서 미분 불가
• 분절적 그래프: $P(x)=0$ 기준 위아래 서로 다른 모양 결합

활용 팁

• 구간별 그래프 따로 그린 뒤, 접합점에서 기울기 변화 확인
• 절댓값 부등식 풀이 시 두 구간으로 나누기

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함수 비교 요약

구분	정의역	연속성	미분가능성	그래프 특징	점근선
다항함수	$\mathbb R$	전 구간 연속	전 구간 미분 가능	차수에 따른 끝 모양 결정	없음
유리함수	$\mathbb R\setminus{Q(x)=0}$	정의역 내 연속	정의역 내 미분 가능	수직·수평·사선 점근선 존재	존재 가능
무리함수	$P(x)\ge0$ 등 제한	정의역 내 연속	경계점 미분 불가 가능	시작점 분절적 스무스 증가	없음
절댓값함수	$\mathbb R$	전 구간 연속	접합점 미분 불가	분절적 직선·곡선 결합	없음

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대표 예제

예제 1. 유리함수와 점근선

$$f(x)=\frac{2x^2-1}{x-1}$$

• 정의역: $x\neq1$
• 수직점근선: $x=1$
• 차수 같으므로 수평점근선 $y=2$
• 몫 다항식이 $2x+2$ → 사선점근선 $y=2x+2$

예제 2. 절댓값함수 분절 그래프

$$g(x)=|x^2-4|$$

• 분절 구간:
  • $x^2-4\ge0$ ($|x|\ge2$) → $y=x^2-4$
  • $x^2-4<0$ ($|x|<2$) → $y=4-x^2$
• 꺾이는 점: $(-2,0)$, $(2,0)$

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수능 응용 팁

• 그래프 스케치 순서: 정의역 → 점근선 → 분절 구간 → 세부 형태
• 증명 문제: 각 함수 유형별 연속·미분 조건을 근거로 제시
• 유형 분류: 점근선, 미분 불능점, 분절 그래프 특징으로 함수 종류 바로 파악

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결론

다항·유리·무리·절댓값 함수는 모두 “함수”라는 동일 범주지만, 정의역 제약, 점근선, 분절적 그래프, 미분 가능성 등에서 뚜렷한 차이를 보입니다. 오늘 정리한 비교표와 예제를 반복 학습하면, 수능 및 심화 문제에서도 유형을 즉시 떠올려 적절한 전략을 세울 수 있습니다. 다음 포스팅에서는 삼각함수 완전 가이드를 통해 삼각함수 그래프와 주기 분석을 심화해 보겠습니다.