다항함수 미분과 로피탈 정리(L’Hôpital’s Rule) 응용

다항함수 미분과 로피탈 정리(L’Hôpital’s Rule) 응용

고등수학에서 다항함수(polynomial function) 는 가장 기본적이면서도, 미분법을 배우는 첫걸음이 되는 함수 유형입니다. 다항함수의 미분 공식을 정확히 익히고, 이를 바탕으로 극한 상황에서 유용한 로피탈 정리(L’Hôpital’s Rule)를 활용하면, 복잡해 보이는 비정형 극한 문제도 체계적으로 해석할 수 있습니다.

이번 포스팅에서는

• 다항함수 미분의 기본 원리
• 다항함수 전용 미분 공식
• 미분을 활용한 극값·증가·감소 분석
• 로피탈 정리의 개념과 적용 조건
• 다양한 로피탈 정리 응용 예제

를 단계별로 살펴보며, 실제 문제에 바로 적용 가능한 스킬을 정리합니다.

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다항함수 미분 기초

다항함수란?

다항함수는 다음과 같은 형태의 함수입니다.
$$
f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,
$$
여기서 $a_i$는 상수, $n$은 자연수입니다. 예를 들어 $f(x)=3x^4-5x^2+2x-7$도 다항함수입니다.

미분의 의미

미분은 그래프의 순간 기울기를 계산해, 함수가 특정 지점에서 얼마나 빠르게 변하는지를 수치화한 도구입니다. 다항함수는 연속·매끄럽기 때문에, 전 범위에서 미분이 가능하며, 간단한 공식으로 그 결과를 얻을 수 있습니다.

미분 과정 요약

1. 함수 형태 파악: 차수와 계수를 확인
2. 공식 적용: 각 항별로 미분
3. 결과 정리: 동류항 합치기

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다항함수 전용 미분 공식

차수별 미분(멱함수 공식을 활용)

다항함수의 각 항 $a_k x^k$은 멱함수 형태이므로,
$$
\frac{d}{dx}\bigl(a_k x^k\bigr) = a_k,k,x^{k-1}
$$
를 적용합니다. 이를 거듭제곱 미분 법칙이라고 부릅니다.

대표 공식 모음

• 상수 함수
  $$\frac{d}{dx}(C)=0$$
• 멱함수(거듭제곱)
  $$\frac{d}{dx}(x^n)=n,x^{n-1}$$
• 상수배 법칙
  $$\frac{d}{dx}\bigl(C,g(x)\bigr)=C,g'(x)$$
• 합·차 법칙
  $$\frac{d}{dx}\bigl(g(x)\pm h(x)\bigr)=g'(x)\pm h'(x)$$

팁: 다항함수는 곱·몫·합성 함수를 쓰지 않아도 되므로, 위 네 가지 공식만 알면 모든 미분이 가능합니다.

예제

$$f(x)=4x^5 - 3x^3 + 2x - 7$$

• 각 항 미분
  $$
  f'(x)
  =4\cdot5x^4 - 3\cdot3x^2 + 2\cdot1x^0 - 0
  =20x^4 -9x^2 +2.
  $$

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미분을 활용한 함수 분석

극값(최대·최솟값) 판정

1. 임계점: $f'(x)=0$ 해 또는 정의되지 않는 점
2. 부호판별: 임계점 주변에서 $f'(x)$ 부호표 작성
3. 극값 결정: 부호 +→–이면 극대, –→+이면 극소

증가·감소 구간

• $f'(x)>0$ 구간: 함수 증가
• $f'(x)<0$ 구간: 함수 감소

대표 예제

$$f'(x)=20x^4 -9x^2 +2=0$$

• $x^2=t\ge0$ 치환
• $20t^2 -9t+2=0\implies t=\frac{9\pm\sqrt{81-160}}{40}$ → 판별식 음수 → 해 없음
• 따라서 $f'(x)>0$ ∀$x$, 함수는 전 구간에서 증가

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로피탈 정리 개념 및 적용 조건

로피탈 정리란?

극한 $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$$가 미정형 형태인 $0/0$ 또는 $\infty/\infty$ 일 때,
$$
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
$$
(후자의 극한이 존재하거나 $\pm\infty$인 경우) 로 극한값을 계산하는 기법입니다.

적용 전 확인 사항

1. 미정형 확인: $f(a)=g(a)=0$ 또는 양쪽 모두 $\pm\infty$
2. 미분 가능성: $f,g$가 $a$ 근처에서 미분 가능
3. 분모 도함수 $g'(x)\neq0$
4. 필요 시 반복 적용 가능

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로피탈 정리 활용 대표 사례

유형 1: $0/0$ 꼴

문제 1.
$$\lim_{x\to0}\frac{x - \sin x}{x^3}$$

1. 원함수 대입 → $0/0$
2. 미분 후
   $$
   \lim_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{3x^2}
   $$
   여전히 $0/0$ → 반복
3. 두 번째 미분
   $$
   \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x}
   $$
   다시 $0/0$ → 세 번째 미분
4. 세 번째 미분
   $$
   \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6}
   =\frac{1}{6}.
   $$

유형 2: $\infty/\infty$ 꼴

문제 2.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3 - x +1}{2x^3 +5}.$$

1. $x\to\infty$ → $\infty/\infty$
2. 최고차항만 남김 → $\frac{3}{2}$
   (로피탈 대신 차수비교로도 가능)

유형 3: 다항·지수·로그 혼합

문제 3.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x\ln x}{x^2}.$$

• $\infty/\infty$
• 미분 적용
  $$
  \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x +1}{2x}
  =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{2}
  =0.
  $$

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결론

다항함수의 미분은 멱함수 공식과 합·상수 규칙만으로 완전 해결되며, 이를 바탕으로 도함수를 이용한 극값·증가·감소 분석이 가능합니다. 로피탈 정리는 극한의 미정형을 도함수 간 비율로 바꾸어 복잡한 극한 문제를 손쉽게 풀어줍니다.

1. 다항함수 미분 → 도함수 계산
2. 도함수 분석 → 함수 형태 이해
3. 극한 문제 → 로피탈 정리 적용
4. 반복 적용으로 복잡한 형태도 해결

위 과정을 숙달하시면, 수능·모의고사·경시 모든 미분·극한 응용 문제를 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다.