접선과 법선 방정식 완전 마스터

접선과 법선 방정식 완전 마스터

함수 그래프 위의 한 점에서 곡선과 스치는 직선을 접선(Tangent line), 그 접선에 수직인 직선을 법선(Normal line)이라 부릅니다. 접선과 법선 방정식을 자유자재로 유도·활용하면, 곡선 해석부터 물리·공학의 궤적 분석까지 폭넓게 응용할 수 있습니다.

본 포스팅에서는

1. 접선·법선 기본 개념
2. 접선 방정식 유도
3. 법선 방정식 유도
4. 암묵함수·매개변수곡선의 접선·법선
5. 활용 예제와 실전 팁

순으로 정리하여, 수능·모의고사·실전 문제에서 접선·법선 문제를 완전 정복하는 방법을 제시합니다.

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접선과 법선 기본 개념

접선의 정의

• 곡선 $y=f(x)$ 위 한 점 $(a,,f(a))$에서의 접선은, 순간 변화율을 기울기로 갖는 직선입니다.
• 순간 변화율 $f'(a)$는 곡선의 기울기이며, 이를 이용해 접선 방정식을 세웁니다.

법선의 정의

• 법선은 접선에 수직인 직선으로, 기울기가 $-1/f'(a)$입니다.
• 곡선 위에서 곡선의 향한 방향과 직각으로 교차하므로, 곡면 해석이나 반사각·굴절각 문제에도 자주 사용됩니다.

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접선 방정식 유도

접선 일반식

함수 $y=f(x)$가 점 $P(a,f(a))$에서 미분 가능할 때, 접선 방정식은
$$
y - f(a) = f'(a),(x - a).
$$

• 도함수 $f'(a)$를 구해 기울기로 사용
• $(a,,f(a))$를 지나도록 상수를 맞춤

예제 1: $y=x^2$의 접선

1. $f(x)=x^2\implies f'(x)=2x$
2. 점 $x=a$에서 기울기 $2a$
3. 접선:
   $$y - a^2 = 2a,(x - a).$$

예제 2: $y=\ln x$의 접선

1. $f(x)=\ln x\implies f'(x)=1/x$
2. 점 $x=a>0$에서 기울기 $1/a$
3. 접선:
   $$y - \ln a = \frac{1}{a},(x - a).$$

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법선 방정식 유도

법선 일반식

위 접선 기울기를 $m=f'(a)$라 하면, 법선 기울기는 $-1/m$이므로, 법선 방정식은
$$
y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)},(x - a).
$$
점과 수직 기울기만 바꾸면 되므로, 유도는 접선과 동일합니다.

예제 3: $y=x^2$의 법선

• 접선 기울기 $2a\implies$ 법선 기울기 $-1/(2a)$
• 법선:
  $$y - a^2 = -\frac{1}{2a},(x - a).$$

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암묵함수·매개변수곡선의 접선·법선

암묵함수 $F(x,y)=0$

• 암묵 미분으로 $dy/dx = -F_x/F_y$ 를 구해 접선 기울기로 사용
• 접선:
  $$
  y - y_0 = -\frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)},(x - x_0).
  $$

예제 4: 원의 접선

원의 방정식 $x^2+y^2=r^2$에서

1. $2x+2y,y'=0\implies y'=-x/y$
2. 점 $(x_0,y_0)$에서 접선:
   $$y - y_0 = -\frac{x_0}{y_0},(x - x_0).$$

매개변수곡선 $(x(t),y(t))$

• 매개변수 $t$로 표현된 곡선은 $dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)$
• 접선:
  $$
  y - y(t_0) = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\bigl(x - x(t_0)\bigr).
  $$

예제 5: 원위치 파라미터

$x=r\cos t,;y=r\sin t$ 에서

• $dy/dx = -\cot t$
• 접선:
  $$y - r\sin t = -\cot t,(x - r\cos t).$$

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활용 예제와 실전 팁

예제 6: 함수와 직선의 접점

문제: $y=x^3-3x+2$가 직선 $y=mx+b$와 중복 접할 때 조건을 구하시오.

1. 접점 $x=a$ 에서
   $$f(a)=ma+b,\quad f'(a)=m.$$
2. 연립해 $a,m,b$ 관계식 유도 → 중복 접 조건 분석

예제 7: 법선의 교점 위치

문제: $y=e^x$의 법선들이 모두 통과하는 한 점을 구하시오.

1. 일반 법선:
   $$y - e^a = -e^{-a}(x - a).$$
2. 직선 형태: $y + e^{-a}x = e^a + ae^{-a}$
3. 모든 $a$에 대해 동일하려면 상수항과 기울기 비교 → 교점 $(0,1)$ 확인

실전 팁

• 수직 기울기 관계: $m_1m_2=-1$ 암기
• 암묵함수 미분: 분자·분모 기호 꼼꼼히
• 매개변수곡선: $dx/dt\neq0$ 조건 확인
• 중복 접 문제: 함수값·기울기 연립으로 이차 방정식 활용

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결론

• 접선 방정식: $y - f(a)=f'(a)(x - a)$
• 법선 방정식: $y - f(a)=-\tfrac1{f'(a)}(x - a)$
• 암묵함수·파라미터 형태로도 동일 원리 적용

이제 다양한 형태의 접선·법선 문제를 풀 때 “도함수 기울기 구하기 → 점 대입 → 방정식 완성” 절차를 자동화하시면 됩니다. 오늘 제시한 예제와 팁을 충분히 연습하시어, 접선·법선 방정식을 마스터하시기 바랍니다.