미분을 통한 속도·가속도 물리 연계 문제

미분을 통한 속도·가속도 물리 연계 문제

미적분을 공부하면서 가장 직관적으로 체감할 수 있는 응용 분야는 바로 운동학입니다. 위치 함수 $x(t)$의 도함수로 얻는 속도 $v(t)=x′(t)$, 속도의 도함수로 얻는 가속도 $a(t)=v′(t)=x″(t)$ 개념은 물리·공학뿐 아니라 일상에서도 빈번히 등장합니다.

이번 포스팅에서는

1. 속도·가속도의 정의 및 수식
2. 등가속도 운동 문제
3. 가변 가속도 문제
4. 그래프 해석 문제
5. 심화 연계 문제

를 살펴보며, 미적분 개념이 물리 현상을 어떻게 정밀하게 서술하는지 이해하고 실전 문제풀이 감각을 기르도록 하겠습니다.

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속도와 가속도의 정의

속도

임의의 물체가 위치 $x(t)$에서 시간 $t$ 후 $x(t+Δt)$로 이동할 때, 평균 속도는
$$
\frac{Δx}{Δt}=\frac{x(t+Δt)-x(t)}{Δt}.
$$
이 값을 $Δt→0$ 극한으로 다듬으면 순간 속도
$$
v(t)=\lim_{Δt→0}\frac{x(t+Δt)-x(t)}{Δt}
=\frac{dx}{dt}
$$
를 얻습니다.

가속도

속도의 변화율도 같은 방식으로 다루어, 순간 가속도
$$
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}
$$
를 정의합니다. 가속도가 양이면 속도가 증가, 음이면 감소합니다.

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등가속도 운동 문제

공식 정리

• 위치: $x(t)=x_0+v_0t+\tfrac12at^2.$
• 속도: $v(t)=v_0 + at.$
• 평균 속도: $\bar v=\frac{x(t)-x_0}{t} = v_0+\tfrac12at.$

대표 예제

문제 1. 초기 위치 $x_0=0$, 초기 속도 $v_0=5,$m/s, 가속도 $a=2,$m/s²인 물체가 움직인다.

1) $t=3,$s일 때 위치와 속도를 구하시오.
2) $x=20,$m에 도달할 때까지 걸리는 시간을 구하시오.

풀이

1) $v(3)=5+2·3=11\text{ m/s},\quad x(3)=0+5·3+\tfrac12·2·3^2=15+9=24\text{ m}.$
2) $x(t)=20$ 이므로

$20=5t+\tfrac12·2t^2=5t+t^2\implies t^2+5t-20=0\implies t=\frac{-5+\sqrt{25+80}}{2}=\frac{-5+√105}2\approx2.62 s$

심화 팁

• 음의 근은 물리적 의미가 없으니 양근만 취합니다.
• 평균 속도 $\bar v=10,$m/s 로, 전체 구간의 평균을 빠르게 파악할 수 있습니다.

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가변 가속도 운동 문제

기본 아이디어

가속도가 시간에 따라 변화할 때, $a(t)=f(t)$ 이면 속도는
$$v(t)=v_0+\int_0^t f(τ),dτ,\quad x(t)=x_0+\int_0^t v(τ),dτ.$$

대표 예제

문제 2. $a(t)=3t$ m/s²인 물체의 초기 속도 $v_0=2,$m/s, 초기 위치 $x_0=0$일 때,

1) $v(t)$와 $x(t)$를 구하시오.
2) $t=2,$s일 때 속도와 위치를 계산하시오.

풀이

1)
$$v(t)=2+\int_0^t3τ,dτ=2+\tfrac32t^2,\quad
x(t)=\int_0^t\bigl(2+\tfrac32τ^2\bigr),dτ
=2t+\tfrac12t^3.$$
2)
$$v(2)=2+\tfrac32·4=2+6=8\text{ m/s},\quad x(2)=2·2+\tfrac12·8=4+4=8\text{ m}.$$

심화 팁

• 적분 시 상수는 초기조건에서 바로 대입
• 물리 단위(m/s² → m/s → m)에 유의

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그래프 해석 문제

문제 3. 물체의 위치 그래프가 아래와 같이 주어질 때,

1) 속도와 가속도가 0이 되는 시점을 모두 구하시오.
2) 물체가 정지(속도 0)했다가 다시 움직이기 시작하는 구간을 표시하시오.

풀이 포인트

• $x(t)$ 그래프의 기울기가 0이면 $v(t)=0$.
• $x(t)$ 그래프의 굽음(direction change) 지점에서 $a(t)=0$.

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심화 연계 문제

1. 충돌 문제: 두 물체 위치 $x_1(t)=4t-0.5t^2$, $x_2(t)=8-2t$의 충돌 시간을 구하고, 충돌 시 속도를 계산하라.
2. 저항력 포함: $a(t)=-kv(t)$ 형태(공기저항 비례)에서 $v(t)$를 구하라.
3. 곡선 운동: 평면 상의 위치 벡터 $\mathbf r(t)=(t^2,,\sin t)$의 속도·가속도 벡터를 구하시오.

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결론

속도와 가속도는 미분의 가장 직관적인 응용입니다.

• 등가속도 공식 익히기 → 1차 방정식 풀이
• 가변 가속도 → 적분 적용
• 그래프 해석 → 기울기·굽음 연결
• 물리 현상 모델링에 도함수와 적분을 결합

이제 다양한 연계 문제를 풀며, 미분·적분이 실제 물리 세계를 어떻게 정밀히 설명하는지 체득해 보시기 바랍니다.