극값·최대최소 완전 공략: 라그랑주 승수 개념까지

극값·최대최소 완전 공략: 라그랑주 승수 개념까지

함수의 극값과 최댓값·최솟값 문제는 미적분의 핵심 응용 중 하나로, 수능·모의고사뿐 아니라 공학·경제학·물리학 분야에서도 자주 등장합니다. 특히 단일 변수 함수에서 1차 도함수를 활용한 국소 극값 판정, 2차 도함수 검사법, 닫힌 구간의 경계값 처리 과정을 확실히 익히면, 대부분의 최대최소 문제는 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다.

더 나아가 다변수 함수에서는 라그랑주 승수법으로 제약조건을 가진 최적화 문제까지 해결할 수 있으므로, 이번 포스팅에서는

1. 극값과 최대최소 개념 정리
2. 1차 도함수 판정법
3. 2차 도함수 검사법
4. 경계값 포함 최댓값·최솟값 문제
5. 라그랑주 승수법
6. 종합 전략 및 팁
   순으로 단계별 핵심 원리와 대표 예제를 통해 완전 정복하는 방법을 제시하겠습니다.

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극값과 최대·최소 개요

국소 극값 vs. 전역 극값

• 국소 극값은 함수가 특정 점 근처에서만 최대 또는 최소가 되는 값으로, $f'(x_0)=0$이고 부호 변화로 확인합니다.
• 전역(절대) 극값은 정의역 전체에서의 최대·최솟값으로, 국소 해와 경계값을 모두 비교해야 결정합니다.

최댓값·최솟값 정의

• 최댓값 $M$이 존재하려면 $\forall x$에 대해 $f(x)\le M$인 점 $x_0$에서 $f(x_0)=M$.
• 최솟값 $m$은 $\forall x$에 대해 $f(x)\ge m$인 점 $x_1$에서 $f(x_1)=m$.

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1차 도함수를 이용한 극값 판정

도함수 0점 찾기

1. $f'(x)=0$ 해를 구해 임계점 목록 작성
2. 정의역에서 도함수가 존재하지 않는 지점도 임계점에 포함

부호판별법(Sign Chart)

• 임계점을 기준으로 도함수 부호를 조사하여 증가·감소 구간을 파악
• 구간별 부호표 예시:

  구간	$(-\infty,x_1)$	$(x_1,x_2)$	$(x_2,\infty)$
  $f'(x)$ 부호	+	–	+
  함수 형태	증가	감소	증가
  극값 유형		전역 극값

대표 예제

함수 $f(x)=x^3-3x+2$에서

1. $f'(x)=3x^2-3=0\implies x=\pm1$
2. 부호판별 → $x=-1$에서 극소, $x=1$에서 극대 확인

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2차 도함수를 이용한 판별법

2차 도함수 검사법

• $f''(x_0)>0$이면 $x_0$에서 국소 최솟값
• $f''(x_0)<0$이면 국소 최댓값
• $f''(x_0)=0$이면 판정 불능(추가 검사 필요)

오목·볼록 해석

• $f''(x)>0$ (볼록) 구간 → 그래프가 아래에서 위로 오목하게 휘어짐
• $f''(x)<0$ (오목) 구간 → 위에서 아래로 볼록하게 휘어짐

대표 예제

함수 $$g(x)=x^4-4x^2$$

1. $g'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=0\implies x=0,\pm\sqrt2$
2. $g''(x)=12x^2-8$ → $x=0$에서 $g''(0)=-8<0$ 국소 극대, $x=\pm\sqrt2$에서 $g''>0$ 국소 극소

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경계값 포함 최댓값·최솟값 문제

닫힌 구간 문제 해결 절차

1. 구간 $[a,b]$에서 $f'(x)=0$ 해(임계점)를 찾고 $a,b$와 함께 후보 목록 작성
2. 각 점에서 함수값 계산
3. 최댓값·최솟값을 비교하여 결정

예제

$$f(x)=x^3-6x^2+9x+1,\quad x\in[0,4]$$

1. $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0\implies x=1,3$
2. 후보: $x=0,1,3,4$에서
   • $f(0)=1,;f(1)=5,;f(3)=1,;f(4)=9$
3. 최댓값 $9$ at $x=4$, 최솟값 $1$ at $x=0,3$

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다변수 함수의 극값: 라그랑주 승수법

개념 및 필요성

제약조건 $h(x,y)=0$ 아래에서 $f(x,y)$의 극값을 구할 때, 단순 도함수 0점을 찾을 수 없으므로 라그랑지언 함수를 도입합니다.

라그랑지언 함수 구성

1. $\mathcal L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda,h(x,y)$
2. 연립방정식
   $$
   \frac{\partial\mathcal L}{\partial x}=0,\quad
   \frac{\partial\mathcal L}{\partial y}=0,\quad
   \frac{\partial\mathcal L}{\partial\lambda}=0
   $$
3. 해 $(x,y,\lambda)$를 구해 제약조건을 만족하는 극값 후보 도출

대표 예제

$$\max,f(x,y)=xy\quad\text{s.t.}\quad x^2+y^2=1.$$

1. $\mathcal L=xy-\lambda(x^2+y^2-1)$
2. $\partial_x:;y-2\lambda x=0,;\partial_y:;x-2\lambda y=0,;\partial_\lambda:;x^2+y^2-1=0$
3. 해: $x=\pm y$, $x^2+y^2=1\implies x=y=\pm \tfrac1{\sqrt2}$
4. $f=\frac12$ 최대, $f=-\frac12$ 최소

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종합 전략 및 암기 팁

• 1차→2차 순서로 도함수를 단계별로 계산
• 부호표와 표 작성으로 시각화
• 경계값은 절대값 구할 때 반드시 포함
• 라그랑주 승수 공식 절차를 플로우 차트로 정리

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결론

1차 도함수 판정, 2차 검사, 경계값 비교, 라그랑주 승수법까지 차근차근 학습하면, 단일·다변수 극값·최대최소 문제를 모두 정복할 수 있습니다. 오늘 제시한 프로세스와 예제를 반복 연습하시어, 어떠한 최적화 문제에도 빠르게 대응하는 실력을 갖추시길 바랍니다.