그래프 스케치 프로세스: 증가·감소·굽음·점근선

그래프 스케치 프로세스: 증가·감소·굽음·점근선

함수 그래프를 정확하고 빠르게 스케치하기 위해서는 단순한 좌표 계산을 넘어 증가·감소, 굽음(오목·볼록), 점근선 등 다각적인 관찰이 필요합니다. 이 과정을 체계화한 5단계 그래프 스케치 프로세스를 익히면, 수능·모의고사 고난도 함수 문제에서도 혼란 없이 일관된 절차로 해법을 전개할 수 있습니다.

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그래프 스케치 전체 프로세스 요약

1. 정의역·치역 확인
2. 증가·감소 구간 분석
3. 굽음(오목·볼록) 구간 및 변곡점 탐색
4. 점근선(수직·수평·사선) 계산
5. 대표점 연결 및 세부 형태 보완

각 단계별로 해야 할 일과 활용 도구, 주의점을 명확히 알아두면, 초보자도 체계적인 그래프 해석이 가능합니다.

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증가·감소 구간 분석

1차 도함수 계산

함수 $f(x)$의 그래프가 증가하려면 $f'(x)>0$, 감소하려면 $f'(x)<0$인 구간을 찾습니다.

• 절차
  1. $f'(x)$를 계산하여 분모·분자를 정리.
  2. 분자가 0이 되는 임계점(critical point) 을 구함.
  3. 분모가 0이 되는 정의역 제외점 도 확인.
  4. 부호표(sign chart)를 작성하여 각 구간에서 $f'(x)$의 부호를 파악.
• 주의
  • 분모가 0인 점은 증가·감소 판단에서 제외하고 점근선으로 별도 처리.
  • 급격한 부호 변화가 있는 구간에서는 극값(local max/min)이 존재.

대표 예시

$$
f(x)=x^3-3x+1,\quad f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).
$$

• 임계점: $x=-1,1$
• 부호표
  • $(-\infty,-1)$: $+$ → 증가
  • $(-1,1)$: $-$ → 감소
  • $(1,\infty)$: $+$ → 증가
• 이로써 $x=-1$에서 극대, $x=1$에서 극소임을 알 수 있습니다.

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굽음(오목·볼록) 구간 및 변곡점

2차 도함수 활용

그래프가 볼록(convex) 하려면 $f''(x)>0$, 오목(concave) 하려면 $f''(x)<0$인 구간을 구분합니다.

1. $f''(x)$ 계산
2. $f''(x)=0$ 해에서 변곡점(inflection point) 탐색
3. 부호표를 통해 볼록·오목 구간 파악

변곡점 조건

• $f''(x)=0$ 및 부호가 양→음 또는 음→양으로 바뀌는 점이 변곡점
• 그래프 형태 전환 지점으로, 접선 방정식이나 좌표를 명시

대표 예시

$$
f(x)=x^4-4x^2,\quad f''(x)=12x^2-8=4(3x^2-2).
$$

• 해: $3x^2-2=0\implies x=\pm\sqrt{\tfrac23}$
• 부호
  • $|x|<\sqrt{\tfrac23}$: $f''<0$ → 오목
  • $|x|>\sqrt{\tfrac23}$: $f''>0$ → 볼록
• 따라서 $x=\pm\sqrt{2/3}$에서 변곡 발생

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점근선(Asymptote) 계산

수직점근선 (Vertical Asymptote)

• 정의역에서 분모가 0이 되지만 분자가 0이 아닌 $x=c$에서 발생
• 판별: $\lim_{x\to c^\pm}f(x)=\pm\infty$ 일 때 그 직선 $x=c$

수평점근선 (Horizontal Asymptote)

• $x\to\pm\infty$ 극한값이 유한한 상수 $L$이면 직선 $y=L$
• 다항·유리함수는 차수 비교로 즉시 판정

사선(Oblique) 점근선

• 차수 차이가 1인 다항식 분수함수에서 발생
• 계산:
  1. 다항식 나눗셈으로 몫 $mx+b$와 나머지 구함
  2. $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(mx+b)]=0$ 확인 → 점근선 $y=mx+b$

대표 예시

$$
f(x)=\frac{2x^2+3x-1}{x-1}
$$

• 차수 차이 1 → 사선점근선
• 다항식 나눗셈: $,2x+5 + \frac{4}{x-1}$
• 점근선: $y=2x+5$

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종합 스케치 전략

1. 정의역·치역: 함수 유형(다항·무리·절댓값 등) 파악
2. 증감성: 1차 도함수로 증가·감소 구간 및 극값 검출
3. 굴곡성: 2차 도함수로 오목·볼록 구간 및 변곡점 확인
4. 점근선: 수직·수평·사선 점근선을 모두 계산하여 틀 완성
5. 대표점 연결: 영점, 극값, 변곡점, 점근선 교점 등 주요 좌표 연결
6. 세부 형태 보강: 구간별 곡률, 양·음 구간 강조

이 순서를 따라 일관되게 작업하면, 복잡한 함수도 체계적으로 그래프를 완성할 수 있습니다.

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대표 예제

예제: $f(x)=\dfrac{x^3-3x}{x-2}$

1. 정의역: $x\neq2$
2. 증감성:
   $$
   f'(x)
   =\frac{3x^2-3}{,x-2,}-\frac{x^3-3x}{(x-2)^2}
   =\frac{(3x^2-3)(x-2)-(x^3-3x)}{(x-2)^2}
   $$
   → 분자 인수분해 후 부호표 작성
3. 굴곡성: 복잡하므로 필요 시 생략하거나 수치 해석
4. 점근선:
   • 수직: $x=2$
   • 사선: 다항식 나눗셈 → $y=x^2+2x+1 + \tfrac{?}{x-2}$ → $y=x^2+2x+1$
   • 수평: 없음
5. 스케치: 극값, 점근선 교차, 영점(0,0),(√3,0),(-√3,0) 표시

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결론

증가·감소, 굽음, 점근선 분석을 결합한 5단계 그래프 스케치 프로세스를 통해,

• 복잡한 형태의 함수라도 체계적으로 분해하여
• 단계별로 핵심 요소를 점검하고
• 종합된 그래프를 완성할 수 있습니다.

이 과정을 반복 연습하시면, 수능·경시·연구형 모든 함수 그래프 문제에 자신 있게 대처하실 수 있습니다.