함수와 기초 개념: 집합·명제 완전 정리 — 참·거짓과 조건·필요충분조건

함수와 기초 개념: 집합·명제 완전 정리 — 참·거짓과 조건·필요충분조건

고등학교 이과 수학의 첫 걸음은 집합(Set) 과 명제(Proposition) 를 정교하게 다루는 것에서 시작됩니다. 집합은 수학적 대상들의 “모임”을, 명제는 그 대상에 대한 “참·거짓이 판별 가능한 문장”을 뜻합니다. 개념이 단순해 보일 수 있지만, 이 두 축을 정확히 이해해야만 지수·로그, 미적분, 확률통계 같은 심화 단원에서 논리적 실수를 피할 수 있습니다.

이번 포스팅에서는 집합 표현 → 명제 논리 → 조건식 → 필요충분조건 의 순서로 핵심 내용을 정리한 뒤, 대표 예제와 심화 문제를 통해 사고력을 확장해 보겠습니다.

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집합의 정의와 표기법

원소와 기호

• 원소(element): 집합에 속한 각 대상을 말합니다.
• 포함 기호: $a\in A$ ⇒ “$a$는 집합 $A$의 원소이다”, $b\notin A$ ⇒ “$b$는 $A$에 속하지 않는다”.
• 부분집합: $A\subseteq B$ 는 “$A$의 모든 원소가 $B$에 포함된다”. 공집합 $\varnothing$ 은 어떤 원소도 갖지 않는 집합입니다.

집합의 표현 세 가지

1. 원소 나열법: $A={1,2,3}$ — 원소가 유한할 때 직관적입니다.
2. 조건 제시법: $B={x\mid x \text{ 가 짝수이고 } 0<x<10}$ — 성질로 대상을 정의합니다.
3. 벡터·좌표 표현: 함수 그래프나 도형을 집합으로 해석할 때 사용합니다.

기본 집합 연산

• 합집합 $A\cup B$, 교집합 $A\cap B$, 여집합 $A^{\mathsf{c}}$, 차집합 $A\setminus B$
• 드모르간 법칙
  $$(A\cup B)^{\mathsf{c}} = A^{\mathsf{c}}\cap B^{\mathsf{c}}, \qquad (A\cap B)^{\mathsf{c}} = A^{\mathsf{c}}\cup B^{\mathsf{c}}$$
• 카르테지안 곱 $A\times B={(a,b)\mid a\in A,;b\in B}$ — 함수의 정의역·공역 설정 시 필수입니다.

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명제와 진리값

명제의 조건

• 형식적으로 참(true) 또는 거짓(false) 이 명확히 판별되는 문장이어야 합니다.
• 예시: “$2$는 소수이다” → 참, “$\sqrt{2}$는 유리수이다” → 거짓.

논리 연산

기호	의미	간단 진리표
$\lnot P$	부정	$P$가 참→거짓, 거짓→참
$P\land Q$	논리곱	둘 다 참일 때만 참
$P\lor Q$	논리합	둘 중 하나라도 참이면 참
$P\Rightarrow Q$	조건(함의)	‘$P$이면 $Q$이다’
$P\Leftrightarrow Q$	동치	‘$P$⇔$Q$’ 두 명제가 같은 진리값

핵심 포인트: 조건 명제 $P\Rightarrow Q$는 $\lnot P\lor Q$ 와 논리적으로 동치입니다. 대우 명제 작성이나 참·거짓 판단 시 매우 유용합니다.

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조건문과 대우

조건문의 진리 판단

$P\Rightarrow Q$ 가 거짓이 되는 유일한 경우는 “가정 $P$가 참인데 결론 $Q$가 거짓”일 때입니다. 이는 함수가 반례를 통해 부정되는 논리와도 연결됩니다.

대우 명제

$P\Rightarrow Q$ 의 대우는 $\lnot Q\Rightarrow \lnot P$이며, 원 명제와 항상 동치입니다. 예) “정수가 짝수면 제곱은 짝수”의 대우는 “정수의 제곱이 홀수면 그 정수는 홀수”입니다. 복잡한 명제를 증명할 때 대우를 사용하면 논리가 단순해지는 경우가 많습니다.

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필요조건·충분조건·필요충분조건

형태	설명	기호 표현	예시
충분조건	$P\Rightarrow Q$	$P$면 꼭 $Q$	“$x=2$이면 $x^2=4$”
필요조건	$Q\Rightarrow P$	$P$가 성립하려면 반드시 $Q$	“$x^2=4$이면 $x=\pm2$”
필요충분조건	$P\Leftrightarrow Q$	서로 동치	“정수 $x$는 짝수 ⇔ $x^2$는 짝수”

실전 팁: ‘필요충분조건’ 문제는 양방향 증명 을 요구합니다. 한쪽 방향만 성립해도 오답이므로 꼭 두 방향을 확인하세요.

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대표 예제와 풀이

예제 1 — 집합 연산

집합 $A={x\mid x<3}$, $B={x\mid x\ge1}$ 일 때, $A\cap B$ 와 $A\cup B$ 를 구하시오.

풀이

$A\cap B={x\mid 1\le x<3}$

$A\cup B={x\mid x<3\text{ 또는 }x\ge1}= \mathbb{R}$

예제 2 — 필요충분조건

실수 $x$ 에 대해 “$|x|<1$” 이면 “$x^2<1$” 이다. 필요한가 충분한가?

$|x|<1 \Rightarrow x^2<1$ 이지만, $x^2<1$ 일 때도 $|x|<1$ 이므로
두 명제는 필요충분조건(동치) 입니다.

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사고력 확장 문제

1. 집합 포함관계 증명
   $$A={n\in\mathbb Z\mid n\equiv1\pmod3},\quad B={3k+1\mid k\in\mathbb Z}$$
   $A=B$ 임을 보이시오. 힌트: 양쪽 포함관계
2. 명제 논리 적용
   다음 명제의 대우를 작성하고 진위여부를 판단하시오.
   “정수가 $3$으로 나누어떨어지면 각 자리 수 합도 $3$으로 나누어떨어진다.”
3. 필요·충분 사례 제작
   스스로 명제를 만들어 필요조건은 성립하지만 충분조건은 아닌 예시를 작성하고, 반례를 제시해보세요.

이러한 연습은 논리적 사고력 강화 뿐만 아니라, 수능 고난도 문제를 풀기 위한 근본 체력을 키우는 데 큰 도움이 됩니다.

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결론

집합과 명제는 수학 언어의 기초 문법입니다. 집합 연산 으로 대상의 경계를 규정하고, 명제 논리 로 참·거짓을 판별하며, 필요충분조건 으로 조건의 강도를 분석합니다. 이 토대가 탄탄할수록 미분에서 ‘극한의 논리’를, 확률에서 ‘조건부 사건’을 더 정교하게 해석할 수 있습니다. 다음 포스팅에서는 “여러 가지 함수 종합” 주제로 그래프 해석과 논리적 연결 고리를 심화해 보겠습니다. 꾸준히 따라오시면 수능 킬러 문제도 논리적으로 분해할 힘이 생길 것입니다. 감사합니다.

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