등차·등비 수열 완전 분석: 합·중항 성질

등차·등비 수열 완전 분석: 합·중항 성질

고등학교 이과 수학에서 수열은 반복·증가·감소 패턴을 다루는 핵심 단원이며, 그중에서도 등차수열과 등비수열은 가장 기본이 되는 유형입니다. 이 두 수열의 합 공식과 중항(중간항) 성질을 완벽히 이해하면, 무한급수, 수열의 극한, 함수 전개, 심지어 물리학·공학 모델링에서도 강력한 도구로 활용할 수 있습니다.

이번 포스팅에서는

1. 등차수열의 정의·일반항·합 공식 유도
2. 등차수열 중항의 성질 및 응용
3. 등비수열의 정의·일반항·합 공식 유도
4. 등비수열 중항·비율 성질 및 응용
5. 대표 예제와 심화 문제

를 차례로 살펴보며, 각 공식의 증명 원리와 사고 확장 포인트를 제시합니다. 이 글을 통해 수능 수열 문제는 물론, 경시·연구형 문제에서도 자신 있게 패턴을 적용하실 수 있습니다.

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등차수열 완전 분석

정의 및 기본 성질

등차수열(arithmetic sequence)은 연속한 두 항의 차이가 일정한 수열을 말합니다.

• 점화식:
  $$a_{n+1} - a_n = d\quad(\text{상수 }d)$$
• 일반항: 수학적 귀납법 또는 점화식 전개로
  $$a_n = a_1 + (n-1)d.$$
  여기서
• $a_1$은 첫째항,
• $d$는 공차(common difference)입니다.

등차수열은 직선형 패턴을 가지므로, 항이 커질수록 일정한 속도로 증가 혹은 감소합니다.

합 공식 유도

등차수열의 초항부터 $n$번째 항까지의 합
$$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$
을 유도하는 고전적 방법은 “앞에서부터 더하기”와 “뒤에서부터 더하기”를 나란히 놓고 더하는 것입니다.

1. 앞에서부터
   $$S_n = a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_1 + (n-1)d).$$
2. 뒤집어서
   $$S_n = (a_1 + (n-1)d) + (a_1 + (n-2)d) + \cdots + a_1.$$
3. 두 합을 항별로 더하면
   $$2S_n = \bigl(a_1 + [a_1 + (n-1)d]\bigr) + \cdots + \bigl([a_1+(n-1)d] + a_1\bigr) = n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr).$$
4. 따라서
   $$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) = \frac{n}{2},(a_1 + a_n).$$

두 가지 동등한 형태를 모두 기억하면 실전에서 유연하게 활용할 수 있습니다.

중항의 성질

등차수열의 중항(중간항, arithmetic mean)은 두 항 사이의 산술적 평균을 뜻합니다.

• 성질: 등차수열에서 임의의 두 항 $a_k,,a_{k+m}$ 사이의 중항은
  $$\frac{a_k + a_{k+m}}{2} = a_{k+\frac{m}{2}}\quad(!m\text{이 짝수일 때}).$$
• 해설: 등차수열의 각 항 간격이 동일하므로, 두 항의 평균은 중간 항에 해당합니다.
• 확장: 세 개의 연속 항 $a_k,a_{k+1},a_{k+2}$이 등차수열이라면
  $$2a_{k+1}=a_k+a_{k+2}$$
  가 성립합니다. 이는 중항 비례 개념으로, 등차수열의 두 번째 항이 첫째·셋째항의 평균임을 뜻합니다.

이 성질은 연속 세 항이 등차인지 판별하거나, 부분항 간의 관계를 쉽게 세우는 데 유용합니다.

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등비수열 완전 분석

정의 및 기본 성질

등비수열(geometric sequence)은 연속한 두 항의 비율이 일정한 수열입니다.

• 점화식:
  $$\frac{b_{n+1}}{b_n} = r\quad(\text{상수 }r)$$
• 일반항:
  $$b_n = b_1,r^{,n-1}.$$
  여기서
• $b_1$은 첫째항,
• $r$은 공비(common ratio)입니다.

등비수열은 지수형 패턴을 가지며, $|r|>1$일 때 급격히 증가, $|r|<1$일 때 급격히 감소합니다.

합 공식 유도

등비수열의 초항부터 $n$번째 항까지의 합
$$T_n = b_1 + b_1r + b_1r^2 + \cdots + b_1r^{,n-1}$$
는 다음과 같이 유도할 수 있습니다.

1. 원래 합
   $$T_n = b_1\bigl(1 + r + r^2 + \cdots + r^{,n-1}\bigr).$$
2. 방정식 곱하기 $r$
   $$rT_n = b_1\bigl(r + r^2 + \cdots + r^n\bigr).$$
3. 두 식을 빼면
   $$(1 - r)T_n = b_1\bigl(1 - r^n\bigr).$$
4. 따라서
   $$T_n =
   \begin{cases}
   \displaystyle b_1,\frac{1 - r^n}{1 - r}, & r\neq1,\[8pt]
   nb_1, & r=1.
   \end{cases}$$

무한등비급수의 수렴판정은 $|r|<1$일 때만 가능하며, 그 경우
$$\sum_{k=1}^{\infty}b_1r^{,k-1} = \frac{b_1}{1-r}.$$

중항 및 비율 성질

등비수열의 중항(기하학적 평균, geometric mean)은 두 항 사이의 기하평균을 뜻합니다.

• 성질: 임의의 두 항 $b_k,,b_{k+m}$ 사이의 중항은
  $$\sqrt{b_k,b_{k+m}} = b_{k+\frac{m}{2}}\quad(!m\text{이 짝수일 때}).$$
• 세 항 관계: 연속 세 항 $b_k,b_{k+1},b_{k+2}$이 등비수열이라면
  $$b_{k+1}^2 = b_k,b_{k+2}.$$
  즉, 중간 항의 제곱이 양쪽 항의 곱과 같습니다.

이 성질은 등비판별이나, 수열의 특정 항 값을 빠르게 찾는 데 효과적입니다.

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대표 예제

예제 1: 등차수열의 합 계산

첫째항이 4, 공차가 3인 등차수열에서 처음 50개 항의 합을 구하시오.

• $a_1=4,;d=3,;n=50$
• $a_{50}=4+49\cdot3=151$
• $S_{50}=\tfrac{50}{2}(4+151)=25\times155=3875$.

예제 2: 등차 중항 활용

등차수열에서 $a_5=20,;a_{15}=80$일 때, $a_{10}$을 구하시오.

• 성질: $a_{10}=\displaystyle\frac{a_5 + a_{15}}{2} = \frac{20+80}{2} = 50.$

예제 3: 등비수열의 합 계산

첫째항이 5, 공비가 $\frac{2}{3}$인 등비수열에서 처음 8개 항의 합을 구하시오.

• $b_1=5,;r=\tfrac{2}{3},;n=8$

$T_8 = 5,\frac{1 - (\tfrac{2}{3})^8}{1 - \tfrac{2}{3}} =5\cdot3\bigl(1 - (\tfrac{2}{3})^8\bigr) =15\bigl(1 - \tfrac{2^8}{3^8}\bigr).$

예제 4: 등비 중항 활용

등비수열에서 $b_3=8,;b_7=128$일 때, $b_5$를 구하시오.

• 성질: $b_5 = \sqrt{b_3,b_7} = \sqrt{8\times128} = \sqrt{1024}=32.$

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사고력 확장 문제

1. 등차수열에서 $S_n = 1000$이 되도록 하는 $n$의 값을 구하시오. $a_1=2,;d=5$로 가정할 것.
2. 등차수열 $a_n$이 있고, $a_3+a_7=40,;a_4+a_9=50$일 때 $a_1$과 $d$를 구하시오.
3. 등비수열에서 $b_n = 3\cdot2^{n-1}$일 때, $\sum_{k=1}^{\infty} b_{2k}$의 수렴 여부와 값을 판단하시오.
4. 등비수열 $b_n$에서 $\frac{b_{n+2}}{b_n}=9$이고 $b_1=2$일 때, $b_n$의 일반항과 $\sum_{k=1}^{5}b_k$를 구하시오.

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결론

등차수열과 등비수열의 합 공식과 중항 성질은 수열 분석의 기본 도구입니다.

• 등차수열: 산술평균 개념으로 중항 활용
• 등비수열: 기하평균 개념으로 중항 활용

이 두 가지 수열을 완벽히 이해하면, 무한급수, 수열의 극한, 함수 전개 등 심화 단원에서도 핵심 패턴을 빠르게 인식하고 적용할 수 있습니다. 다음 포스팅에서는 “계차가 있는 수열 전략: 부분합·망토법·추가항”을 다루어, 더욱 복잡한 점화식 수열 문제를 해체해 보겠습니다.