행렬 기초 & 벡터변환 (고1 선택)

행렬 기초 및 벡터 변환 가이드 (고1 선택)

고등학교 1학년 선택 과목으로 배우는 행렬(matrix) 은 여러 벡터를 한 번에 다루거나, 연립방정식·좌표변환·컴퓨터 그래픽 등 다양한 분야에 활용되는 강력한 도구입니다.

이 글에서는

• 행렬의 정의와 기본 연산
• 행렬과 벡터의 곱을 통한 벡터 변환
• 직교 변환·확대·회전·반사 매트릭스
• 실전 예제와 팁

을 차례로 정리하여, 행렬과 벡터 변환의 핵심 개념을 이해하고 실전에 바로 적용할 수 있도록 안내합니다.

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행렬의 기초

행렬의 정의

• $m\times n$ 행렬이란, 가로 $n$개, 세로 $m$개 숫자를 직사각형 배열로 놓은 것
• 보통 대문자 $A=[a_{ij}]$로 표기하며, $a_{ij}$는 $i$번째 행, $j$번째 열 원소

행렬 덧셈·스칼라배

• 덧셈: 같은 크기의 행렬 $A,B$에 대하여

  

• 스칼라배: 수 $c$와 행렬 $A$에 대하여

행렬 곱셈

• $A$는 $m\times p$, $B$는 $p\times n$ 행렬일 때,

결과는 $m\times n$ 행렬

• 주의: 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않음 ($AB\neq BA$ 일반적)

전치행렬

• $A^T$는 $A$의 행과 열을 뒤집은 행렬: $(A^T){ij}=a{ji}$
• 회전·직교 성질 해석에 활용

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벡터 변환과 행렬

벡터를 행렬로 표현

• 2차원 벡터 $\mathbf{v}=(x,y)$는 열벡터로

• 행렬 $A$와 곱하면 새로운 벡터로 변환

행렬 곱을 통한 변환

• $A$가 $2\times2$, $\mathbf{v}$가 $2\times1$일 때

• 행렬은 벡터의 선형 변환(linear transformation) 을 나타냄

기본 변환 매트릭스

단위행렬(Identity)

• 

• 곱해도 벡터가 변하지 않음

확대·축소 스케일링

• 

• $x$-축 방향 $k_x$배, $y$-축 방향 $k_y$배 변환

 

회전 변환

• 각도 $\theta$만큼 시계 반대 방향 회전

반사 변환

전단(shear) 변환

• 

• 기하 왜곡 효과

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복합 변환과 행렬 곱

합성 변환

• 두 변환 $A,B$를 연속 적용하려면 행렬 곱 $B,A$
• 순서 중요: $B(A\mathbf{v})\neq A(B\mathbf{v})$

역변환

• 정방행렬 $A$ 중 역행렬 $A^{-1}$가 존재하면

$$
A^{-1}A = AA^{-1} = I
$$

• 변환을 원래대로 돌리고 싶을 때 사용

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실전 예제

예제 1: 회전 후 확대

• 점 $(1,0)$을 45° 회전한 뒤 $x$, $y$축 각각 2배 확대
• 계산:

예제 2: 회전·반사 합성

• 90° 회전 후 $y$-축 반사하려면

• 결과는 $x,y$ 축 교환

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응용 팁

1. 행렬의 곱셈 순서 확인: 오른쪽 행렬이 먼저 적용
2. 단위행렬로 변환 검산: 복합 변환 후 역변환 곱해 $I$ 확인
3. 전치행렬은 회전·반사의 역변환과 같다($R^{-1}=R^T$)

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결론

• 행렬 기초: 덧셈·스칼라배·곱셈·역행렬
• 벡터 변환: 선형 변환을 행렬 곱으로 표현
• 주요 매트릭스: 단위·스케일·회전·반사·전단
• 합성·역변환: 변환 순서와 역행렬

행렬과 벡터 변환의 원리를 이해하면, 좌표 변화·도형 변환·컴퓨터 그래픽 등 다양한 분야에서 응용할 수 있습니다. 오늘 정리한 예제와 공식을 바탕으로, 직접 여러 복합 변환을 연습해 보시기 바랍니다.