삼각형 중선·무게중심·외심·내심 벡터 풀이

삼각형 중선·무게중심·외심·내심 벡터 풀이

벡터 기법은 좌표를 직접 다루지 않고도 삼각형의 기하·대수적 성질을 한꺼번에 파악할 수 있다는 장점이 있다. 특히 **중선, 무게중심(centroid), 외심(circumcenter), 내심(incenter)**은 모두 ‘점‒점 관계’를 벡터 내적·합·스칼라배로 표현하면 깔끔하게 증명된다. 아래에서는 삼각형 $\triangle ABC$(위치벡터를 각각 a, b, c)를 두고 네 가지 요소를 순서대로 증명한다.

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1. 중선(Median)

• 정의: 한 꼭짓점에서 반대편 변의 중점으로 이은 선분.
• 중점 벡터
  • 변 $BC$의 중점 $M$ → $\mathbf{m}=\dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$
• 중선 벡터식
  • $AM$의 방향벡터: $\mathbf{m}-\mathbf{a}=\dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}-2\mathbf{a}}{2}$

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2. 무게중심(Centroid)

2-1. 세 중선의 교점

세 변 중점 $M,N,P$에 대해

$$
\begin{aligned}
\mathbf{m}&=\tfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2},\quad
\mathbf{n}=\tfrac{\mathbf{c}+\mathbf{a}}{2},\quad
\mathbf{p}=\tfrac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}
\end{aligned}
$$

중선 $AM$ 위 임의의 점을

$$
\mathbf{g}(t)=\mathbf{a}+t(\mathbf{m}-\mathbf{a}),\quad 0\le t\le1
$$

라 두고 다른 중선 $BN$과의 교차를 구하면 $t=\tfrac23$가 유일하게 공통이 됨을 확인할 수 있다.

2-2. 2:1 내분 증명

$$
\frac{\lVert\mathbf{g}-\mathbf{a}\rVert}{\lVert\mathbf{m}-\mathbf{g}\rVert}=\frac{\tfrac23}{\tfrac13}=2
$$

따라서 무게중심 $G$는 중점을 1, 꼭짓점을 2의 비로 내분한다.

2-3. 좌표(위치벡터)

$$
\boxed{\displaystyle \mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}}
$$

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3. 외심(Circumcenter)

3-1. 조건식

외심 $O$는 세 꼭짓점에서의 거리가 같다. 벡터로는

$$
\lVert\mathbf{o}-\mathbf{a}\rVert^2=\lVert\mathbf{o}-\mathbf{b}\rVert^2=\lVert\mathbf{o}-\mathbf{c}\rVert^2.
$$

3-2. 직선 방정식(수직 이등분선)

첫 두 식 차로 얻는 선형 조건:

$$
(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot\mathbf{o}=\tfrac12(\lVert\mathbf{a}\rVert^2-\lVert\mathbf{b}\rVert^2).
$$

마찬가지로 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})$에 대해서도 같은 형태가 나온다.
두 직선의 교점을 해석적으로 풀면 $\mathbf{o}$가 외심.

3-3. 외심 공식(좌표 없는 형태)

벡터식을 행렬·크래머법으로 정리하면

$$
\boxed{\displaystyle
\mathbf{o}=\frac{(\lVert\mathbf{a}\rVert^2)(\mathbf{b}\times\mathbf{c})+(\lVert\mathbf{b}\rVert^2)(\mathbf{c}\times\mathbf{a})+(\lVert\mathbf{c}\rVert^2)(\mathbf{a}\times\mathbf{b})}{2,[(\mathbf{a}-\mathbf{b})\times(\mathbf{b}-\mathbf{c})]}}
$$

(평면 벡터를 3차원으로 확장해 $z$축 외적을 쓰면 간단히 구할 수 있다.)

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4. 내심(Incenter)

4-1. 성질

내심 $I$는 세 변에서의 거리가 같고, 각의 이등분선이 만나는 점.

4-2. 벡터 가중합

각 $A$의 이등분선 방향은 $\dfrac{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{\lVert\mathbf{b}-\mathbf{a}\rVert}+\dfrac{\mathbf{c}-\mathbf{a}}{\lVert\mathbf{c}-\mathbf{a}\rVert}$.
세 이등분선을 동시에 만족하려면

$$
\boxed{\displaystyle
\mathbf{i}= \frac{|\mathbf{b}-\mathbf{c}|,\mathbf{a}+|\mathbf{c}-\mathbf{a}|,\mathbf{b}+|\mathbf{a}-\mathbf{b}|,\mathbf{c}}
{|\mathbf{b}-\mathbf{c}|+|\mathbf{c}-\mathbf{a}|+|\mathbf{a}-\mathbf{b}|}}
$$

여기서 $|\mathbf{x}|$는 변의 길이이고 가중치는 ‘마주 보는 변의 길이’다.

4-3. 내접원 반지름

벡터 삼중적분 이용

$$
r=\frac{2\Delta}{|\mathbf{b}-\mathbf{c}|+|\mathbf{c}-\mathbf{a}|+|\mathbf{a}-\mathbf{b}|},
$$

($\Delta$는 삼각형 넓이 $\tfrac12\lVert(\mathbf{b}-\mathbf{a})\times(\mathbf{c}-\mathbf{a})\rVert$).

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결론

벡터를 사용하면 복잡한 삼각형 성질을 합·차·스칼라배 세 도구만으로 처리할 수 있어 계산이 빠르고 개념이 투명해진다.

• 중선: 중점 벡터와 직선 매개식
• 무게중심: $(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})/3$ 및 2:1 내분
• 외심: 거리 평등 → 수직 이등분선 해법
• 내심: 변 길이를 가중치로 한 벡터 가중평균

이 같은 벡터 풀이를 익혀두면 좌표계가 달라져도 손쉽게 일반화할 수 있고, 복잡한 기하 문제를 한 줄 내적·외적으로 요약할 수 있다는 강력한 무기를 얻게 된다.