원·타원·쌍곡선·포물선의 초점 기법

원·타원·쌍곡선·포물선의 초점 기법

1. 기본 개념 정리

원의 초점(중심)

• 정의: 원은 모든 점이 중심 $O(h,k)$로부터 같은 거리를 갖는 궤적.
• 표준방정식:

$$
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
$$

• 초점 기법: 원에는 초점이 아니라 “중심”이 하나이며, 임의의 점 $P(x,y)$는

$$
OP = r
$$

를 만족한다.

타원의 초점(Foci)

• 정의: 두 초점 $F_1, F_2$가 주어질 때, 점 $P$이 두 초점까지의 거리 합이 일정($2a$)인 궤적.
• 표준방정식(중심 $(0,0)$, 장축 $x$-축):

$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad c^2 = a^2 - b^2,\quad F_{1,2}=(\pm c,0).
$$

• 초점 기법:
  • 임의의 $P(x,y)$가

$$
PF_1 + PF_2 = 2a
$$

임을 이용하여, 타원의 방정식을 유도하거나, 점의 위치를 결정할 수 있다.

• 응용: 빛이나 소리의 반사 성질 분석 (타원 거울).

쌍곡선의 초점(Foci)

• 정의: 두 초점 $F_1, F_2$가 주어질 때, 점 $P$이 두 초점까지의 거리 차의 절댓값이 일정($2a$)인 궤적.
• 표준방정식(중심 $(0,0)$, 실축 $x$-축):

$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad c^2 = a^2 + b^2,\quad F_{1,2}=(\pm c,0).
$$

• 초점 기법:
  • 임의의 $P(x,y)$가

$$
\bigl|,PF_1 - PF_2,\bigr| = 2a
$$

를 만족하는 성질을 활용해 쌍곡선 방정식 유도나 점의 위치 판별에 사용한다.

• 응용: 쌍곡선 반사 특성 (안테나 설계).

포물선의 초점과 준선(Focus–Directrix)

• 정의: 초점 $F(p,0)$와 준선 $x = -p$이 주어질 때, 점 $P(x,y)$이 초점까지의 거리와 준선까지의 수직거리가 같은 궤적.
• 표준방정식(초점 $F(a,0)$, 준선 $x=-a$):

$$
y^2 = 4a x.
$$

• 초점 기법:
  • 임의의 $P(x,y)$에 대하여

$$
PF = \text{distance from }P\text{ to }(x=-a)
$$

를 세팅하여 방정식을 유도한다.

• 속성: 포물면 반사 특성(빛·음파가 초점에 모임).

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2. 초점 기법 활용을 통한 방정식 유도

2.1 타원 방정식 유도 예

1. 초점 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$와 상수 $2a$ 설정.
2. 점 $P(x,y)$에 대해

$$
\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a.
$$

3. 양변을 정리(제곱→정리→제곱)하면

$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad b^2 = a^2 - c^2.
$$

2.2 쌍곡선 방정식 유도 예

1. 초점 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$와 상수 $2a$ 설정.
2. 점 $P(x,y)$에 대해

$$
\bigl|\sqrt{(x+c)^2 + y^2} - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}\bigr| = 2a.
$$

3. 정리 과정을 거쳐

$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad b^2 = c^2 - a^2.
$$

2.3 포물선 방정식 유도 예

1. 초점 $F(a,0)$와 준선 $x=-a$ 설정.
2. 점 $P(x,y)$에 대해

$$
\sqrt{(x-a)^2 + y^2} = x + a.
$$
3. 제곱 후 정리하여

$$
y^2 = 4a x.
$$

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3. 초점 기법의 응용 팁

반사 성질 분석

• 타원: 타원 내부의 한 초점에서 출발한 빛(소리)이 다른 초점으로 반사됨.
• 포물선: 초점에서 출발한 빛이 평행광으로 나오거나, 반대로 평행광이 초점으로 모임.
• 실전: 타원 거울, 포물면 안테나 설계.

이심률(eccentricity)

• $\displaystyle e = \frac{c}{a}$ 로 정의하며,
  • 타원: $0<e<1$
  • 포물선: $e=1$
  • 쌍곡선: $e>1$
• 이심률은 초점 배치와 곡선 형태를 한눈에 보여준다.

좌표 변환

• 초점이 원점이 아닐 때는 평행 이동으로 중심을 옮긴 뒤 위 기법 적용.
• 회전된 타원·쌍곡선은 회전 변환 행렬을 이용해 주축 정렬 후 초점 기법 적용.

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결론

• 원: 중심 $O$에서 일정 거리.
• 타원·쌍곡선: 두 초점까지 거리 합(차)이 일정.
• 포물선: 초점과 준선까지 거리가 같음.
• 이심률과 반사 특성을 활용해 기하적·물리적 응용에 강력한 도구가 됩니다.

초점 기법은 이차곡선의 본질적 정의이므로, 곡선을 다룰 때 언제나 첫 번째로 떠올릴 수 있도록 연습하시기 바랍니다.