벡터를 활용한 삼각형 면적 및 사면체 체적 계산 가이드

벡터를 활용한 삼각형 면적 및 사면체 체적 계산 가이드

삼각형 면적 계산의 기본 원리

벡터와 기하적 해석

벡터는 크기와 방향을 가진 유향 선분으로, 평면 기하 문제에서 두 변을 표현할 때 유용합니다. 삼각형 $ABC$의 두 변 $\overrightarrow{AB}$과 $\overrightarrow{AC}$를 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$라 할 때, 이 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이는 벡터의 외적(cross product) 크기로 구할 수 있습니다.

외적을 이용한 면적 공식

1. 벡터 외적 정의이때 외적 $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$는로 정의되며, 그 크기는($\theta$는 두 벡터 사이 각도)입니다.

$$
|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta
$$
$$
\langle u_yv_z - u_zv_y,; u_zv_x - u_xv_z,; u_xv_y - u_yv_x \rangle
$$
$$
\mathbf{u} = \langle u_x, u_y, u_z \rangle,\quad
\mathbf{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle
$$

2. 삼각형 면적
평행사변형 넓이가 $|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|$ 라면, 그 절반이 삼각형 $ABC$의 면적이므로
$$
\text{Area}_{\triangle ABC}
= \frac{1}{2}|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|
= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|.
$$

예제: 점 좌표를 이용한 계산

• 점 $A(1,2,0)$, $B(4,3,0)$, $C(2,5,0)$ 일 때
  1. $\overrightarrow{AB} = \langle 3,1,0\rangle$, $\overrightarrow{AC}=\langle1,3,0\rangle$.
  2. 외적
     • $$
       \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}
       = \langle 1\cdot0 - 0\cdot3,;0\cdot1 - 3\cdot0,;3\cdot3 - 1\cdot1\rangle
       = \langle0,0,8\rangle.
       $$
  3. 크기 $|\langle0,0,8\rangle|=8$.
  4. 면적 $\tfrac12\times8=4$.

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사면체 체적 계산

스칼라 삼중곱의 의미

3차원 공간에서 네 점 $A,B,C,D$가 이루는 사면체(tetrahedron)의 부피는, 세 벡터 $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$의 스칼라 삼중곱(scalar triple product)으로 구합니다.

스칼라 삼중곱

기하적으로는 벡터 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 만드는 평행사변형을 밑면으로 하고, $\mathbf{u}$가 그에 수직으로 세운 높이를 곱한 값과 같습니다.

사면체 부피 공식

스칼라 삼중곱 값의 절댓값이 평행육면체(parallelepiped) 부피이므로, 그 1/6이 사면체 부피입니다.

$$
\text{Vol}_{ABCD}
= \frac{1}{6}\Bigl|\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\bigr)\Bigr|.
$$

예제: 점 좌표를 이용한 계산

• 점 $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(0,2,0)$, $D(0,0,3)$ 일 때
  1. $\overrightarrow{AB}=\langle1,0,0\rangle$, $\overrightarrow{AC}=\langle0,2,0\rangle$, $\overrightarrow{AD}=\langle0,0,3\rangle$.
  2. $\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} = \langle2\cdot3 - 0\cdot0,;0\cdot0 - 0\cdot3,;0\cdot0 - 2\cdot0\rangle = \langle6,0,0\rangle.$
  3. 스칼라 곱 $\overrightarrow{AB}\cdot\langle6,0,0\rangle = 1\cdot6 = 6.$
  4. 부피 $\tfrac{1}{6}\times|6|=1.$

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실전 팁 및 응용

벡터 정렬과 차례 주의

• 외적·삼중곱은 교환법칙이 없으므로, 순서를 정확히 지켜야 부호 실수를 줄일 수 있습니다.
• 삼각형 면적에서는 두 벡터의 순서만 바뀌면 부호가 바뀌지만 절댓값으로 계산하므로 상관없습니다.

좌표계 설정

• 가능한 한 한 점을 원점으로 옮기면 벡터 성분이 간단해집니다.
• 평면 위의 점이라면 $z$-좌표를 0으로 통일해 2D 계산으로 단순화할 수 있습니다.

응용 문제

• 평면 위 다각형 면적: 삼각분할하여 각 삼각형 면적 합산
• 다면체 체적: 한 꼭짓점을 기준으로 인접 삼각형·사면체로 분할하여 합산
• 물리적 응용: 질량이 균일한 삼각형·사면체의 중심좌표(centroid) 구할 때 면적·부피 가중 평균

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결론

• 삼각형 면적: $\tfrac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$
• 사면체 체적: $\tfrac16|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})|$

벡터 연산만으로 평면·공간 도형의 면적과 체적을 깔끔하게 계산할 수 있습니다. 오늘 정리한 공식을 바탕으로, 다양한 기하 문제에 벡터 기법을 적용해 보시기 바랍니다.