극한과 무한급수 심화 과정: 수렴 판정 7종 - 코시 응축, 교대급수, 적분, 근, 비율, 직접, 극한 비교판정법

극한과 무한급수 심화 과정: 수렴 판정 7종 - 코시 응축, 교대급수, 적분, 근, 비율, 직접, 극한 비교판정법

고등학교 이과 수학에서 무한급수는 함수 극한 개념을 확장해 ‘무한히 더하기’를 다루는 영역입니다. 수렴 여부를 판단하지 못하면 급수의 값은커녕 해의 존재 여부조차 알 수 없으므로, 수렴 판정법은 필수 무장입니다.

이번 포스팅에서는 대표적인 7가지 판정법인 코시 응축판정법, 교대급수판정법, 적분판정법, 근판정법, 비율 비교판정법, 직접 비교판정법, 극한 비교판정법을 엄밀한 원리와 함께 정리하고, 각 기법의 유용성·한계점을 비교하여 심화 학습의 실력을 한 단계 끌어올리실 수 있도록 구성했습니다.

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무한급수와 수렴의 개요

무한급수란 항이 무한히 이어지는 수열의 합으로, 일반형은
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n.$$
이때 다음 극한이 존재하면 급수는 수렴한다.
$$S=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{N}a_n,\quad S\in\mathbb{R}.$$
반면, 극한이 발산하거나 존재하지 않으면 발산합니다. 수렴 판정법은 이렇게 정의된 극한이 유한한 실수인지 판단하는 다양한 ‘테크닉’을 제공합니다.

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수렴 판정법 7종 테크닉

1. 직접 비교판정법 (Direct Comparison Test)

• 원리: 양항급수 $0 \le a_n \le b_n$이고 $\sum b_n$이 수렴하면 $\sum a_n$도 수렴.
• 조건: 비교 대상 $b_n$는 형태가 명확해야 하며, 특히 $b_n$이 수렴·발산 결과를 알고 있어야 활용 가능.
• 예시: $\displaystyle a_n=\frac{1}{n^2+1}$, $b_n=\frac{1}{n^2}$. $\sum b_n$은 수렴($p=2>1$)하므로, $\sum a_n$도 수렴.

2. 극한 비교판정법 (Limit Comparison Test)

• 원리: $a_n>0,b_n>0$일 때이면 $\sum a_n$과 $\sum b_n$은 동시에 수렴 또는 동시에 발산.
• $$
  \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\quad(0<L<\infty)
  $$
• 장점: 직접 비교가 어려운 경우에도 ‘비율 극한’만 계산하면 판정 가능.
• 예시: $a_n=\frac{n+3}{n^3+1}$, $b_n=\frac{1}{n^2}$.
• $$
  \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
  =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)n^2}{n^3+1}
  =1.
  $$
  $\sum b_n$은 $p=2$로 수렴하므로 $\sum a_n$도 수렴.

3. 비율판정법 (Ratio Test / d’Alembert 판정법)

• 원리:
  $$L=\lim_{n\to\infty}\biggl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggr|.$$
  • $L<1$이면 수렴,
  • $L>1$이면 발산,
  • $L=1$이면 판정 불능.
• 장점: 팩토리얼, 지수함수 형태 급수 판정에 탁월.
• 예시: $\displaystyle a_n=\frac{n!}{5^n}$.
  $$L=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!/5^{n+1}}{n!/5^n}
  =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{5}=\infty>1$$
  따라서 발산.

4. 근판정법 (Root Test / Cauchy 판정법)

• 원리:
  $$L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$$
  • $L<1$이면 수렴,
  • $L>1$이면 발산,
  • $L=1$이면 판정 불능.
• 장점: 일반항에 거듭제곱 형태가 포함된 급수 판정에 적합.
• 예시: $a_n=\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^n$.
  $$L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(3/4)^n}=3/4<1,$$
  따라서 $\sum a_n$은 수렴.

5. 적분판정법 (Integral Test)

• 원리: $f(x)$가 양수·감소 함수일 때에 대하여 $\int_1^{\infty}f(x),dx$의 수렴·발산과 급수의 수렴·발산이 일치.
• $$
  \sum_{n=1}^{\infty}a_n,\quad a_n=f(n)
  $$
• 장점: $f(x)=1/x^p$ 형태의 $p$-급수 판정에 직접 활용.
• 예시: $a_n=1/n^p$.

$$
\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p} =
\begin{cases}
\tfrac{1}{p-1},&p>1 \\\
\infty,&p\le1.
\end{cases}
$$

따라서 $p>1$일 때 급수 수렴, $p\le1$일 때 발산.

6. 교대급수 판정법 (Alternating Series Test / Leibniz 판정법)

• 원리: $a_n$가 양수·감소·$\lim a_n=0$이면,은 조건부 수렴.
• $$
  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
  $$
• 장점: 절대수렴 여부와 별개로 교대 급수의 수렴성 확인 가능.
• 예시:
  $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$$
  은 조건부 수렴 (조화급수는 발산하지만 교대하면 수렴).

7. 코시 응축 판정법 (Cauchy Condensation Test)

• 원리: $a_n$가 양수·감소일 때
• $$
  \sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{의 수렴}
  \iff
  \sum_{k=0}^{\infty}2^k a_{2^k}\text{의 수렴}.
  $$
• 장점: 아주 느리게 감소하는 $a_n$ (예: $1/(n\ln n)$) 판정에 유용.
• 예시:
  $a_n=1/(n\ln n)$일 때,
  $$2^k a_{2^k}
  =\frac{2^k}{2^k\ln(2^k)}
  =\frac{1}{k\ln2},$$
  이 급수는 $\sum1/k$ 형태이므로 발산. 따라서 원 급수도 발산.

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대표 예제: 다중 판정법 적용

예를 들어
$$
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n n!}{n^n}
$$

• 비율판정법:따라서 절대수렴 ⇒ 수렴.
• $$
  L=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!/(n+1)^{,n+1}}{n!/n^n}
  =\lim\frac{n+1}{(1+1/n)^n,n}
  =\frac{1}{e}<1
  $$

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결론

위 7가지 수렴 판정법은 각각 장·단점이 있으므로, 주어진 급수의 형태에 맞추어 적절히 선택해야 합니다.

• 팩토리얼·거듭제곱 급수: 비율·근판정법
• 거듭제곱 감소 급수: 적분판정법
• 교대 부호 급수: Leibniz 판정법
• 느리게 감소하는 항: 코시 응축 판정법
• 일반적 비교: 직접·극한 비교판정법

이 7종 테크닉을 완벽히 익히면 무한급수의 수렴성과 발산 여부를 빠르게 판단할 수 있으며, 수능 고난도·경시 문제에서도 자신 있게 적용하실 수 있습니다. 꾸준한 연습으로 각 판정법의 활용 감각을 키우시길 바랍니다.