직선·평면 방정식 총망라

직선·평면 방정식 총망라

공간 기하에서 직선과 평면의 방정식은 벡터 연산과 결합해 다양한 형태로 표현할 수 있습니다. 이들을 자유자재로 전환·응용하면, 위치·거리·교점·각도 등을 깔끔하게 계산할 수 있습니다.

본 포스팅에서는 2D·3D 직선과 평면의 모든 대표 방정식을 한눈에 살펴보고, 각 식의 유도 원리와 용도를 정리합니다.

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직선 방정식

벡터(♣)·매개변수 형태

• 2차원

$$
\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t,\mathbf{d},\quad t\in\mathbb{R}
$$

• $\mathbf{r}_0$: 직선 위 한 점의 위치벡터
• $\mathbf{d}$: 방향벡터
  • 3차원

$$
(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t,(a,b,c).
$$

연속·대칭(대칭·표준) 형태

• 2차원
• $$
  \frac{x - x_0}{d_x} = \frac{y - y_0}{d_y}
  \quad(d_x,d_y\neq0)
  $$
• 3차원
• $$
  \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}.
  $$

점·점(두 점) 형태

• 주어진 두 점 $P_1(x_1,y_1)$, $P_2(x_2,y_2)$를 지날 때
• $$
  \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}.
  $$

일반형(일반·표준)

• 2차원:
  • $$
    Ax + By + C = 0,\quad (A,B)\neq(0,0)
    $$
• 3차원:
  • $$
    \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c},
    A(x-x_0)=B(y-y_0)=C(z-z_0)=0 (\text{복합형})
    $$

법선(정규) 형태

• 직선의 법선벡터 $\mathbf{n}=(A,B)$를 이용한 2D 식:
  • $$
    A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0.
    $$
• 단위 법선벡터 $\hat{\mathbf{n}}$를 쓸 때:
  • $$
    \hat{n}_x(x - x_0) + \hat{n}_y(y - y_0) = 0.
    $$

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평면 방정식

벡터(♣)·매개변수 형태

• 점 $\mathbf{r}_0$와 두 방향벡터 $\mathbf{u},\mathbf{v}$로 정의
  • $$
    \mathbf{r}(s,t) = \mathbf{r}_0 + s,\mathbf{u} + t,\mathbf{v},\quad s,t\in\mathbb{R}.
    $$

일반(스칼라) 형태

• 법선벡터 $\mathbf{n}=(A,B,C)$와 점 $(x_0,y_0,z_0)$로
  • $$
    \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0)=0.
    $$

일반형(계수형)

$$
Ax + By + Cz + D = 0,\quad (A,B,C)\neq(0,0,0).
$$

절편 형태

$$
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
\quad(a,b,c\neq0),
$$

• $x$-절편 $a$, $y$-절편 $b$, $z$-절편 $c$.

정규(정규법선) 형태

• 단위 법선벡터 $\hat{\mathbf{n}}=(\hat n_x,\hat n_y,\hat n_z)$와 거리 $p$ 사용
  • $$
    \hat n_x,x + \hat n_y,y + \hat n_z,z - p = 0,
    \quad p = \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}_0/|\mathbf{n}|.
    $$

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직선·평면 상호 관계

교점·교선 방정식

• 두 평면의 교선:

$$ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} ;\Longrightarrow; \text{직선} $$

• 직선과 평면의 교점:
  매개변수 식에 평면방정식 대입 후 $t$ 해 구함.

평행·수직 판정

• 직선  ∥ 평면: 방향벡터·법선벡터 내적 = 0
• 직선  ⊥ 평면: 방향벡터 ‖ 법선벡터
• 두 평면  ∥: 법선벡터 비례
• 두 평면  ⊥: 법선벡터 내적 = 0

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거리 공식

점–직선 거리 (2D)

$$
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
$$

점–평면 거리 (3D)

$$
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
$$

두 평면 사이 거리

$$
d = \frac{|D_2 - D_1|}{|\mathbf{n}|},
\quad \text{(법선벡터 같은 계수비)}
$$

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실전 팁

1. 항상 법선벡터·방향벡터를 명확히 구분하세요.
2. 식 전환: 벡터→매개변수→스칼라형 순으로 바꾸면 오류 감소.
3. 평행·수직 판정은 내적·외적 검사로 단순화됩니다.
4. 거리 계산 공식을 암기하고, 분자에 점 좌표를 정확히 대입하세요.

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