곱·몫·합성·역함수 미분 법칙 증명

곱·몫·합성·역함수 미분 법칙 증명

미분법에서 함수 간의 결합은 매우 중요합니다. 특히 두 함수의 곱이나 몫, 합성, 그리고 역함수에 대한 미분 공식은 복합 함수의 순간 변화율을 계산할 때 반드시 사용됩니다.

이 글에서는 극한 정의를 바탕으로 네 가지 미분 법칙을 엄밀하게 증명하고, 각 공식이 어떻게 유도되는지 단계별로 살펴보겠습니다.

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곱의 법칙 (Product Rule) 증명

함수 $u(x),v(x)$가 모두 점 $x$에서 미분 가능할 때,
$$f(x) = u(x) v(x)$$
의 도함수는 다음과 같습니다.
$$
f'(x)
=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}.
$$
여기서 분자에 항을 하나 더하고 빼어 변형하면,
$$
\begin{aligned}
&u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)\\\
&=\bigl[u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x+h)\bigr]
+\bigl[u(x)v(x+h)-u(x)v(x)\bigr]\\\
&= \bigl[u(x+h)-u(x)\bigr] v(x+h)
+u(x) \bigl[v(x+h)-v(x)\bigr].
\end{aligned}
$$
따라서
$$
\begin{aligned}
f'(x)
&= \lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}v(x+h)
+u(x)\lim_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\\\
&= u'(x) v(x) + u(x) v'(x).
\end{aligned}
$$
이는 앞함수 미분 곱 뒤함수 + 앞함수 곱 뒤함수 미분 형태로, 실전에서 외워 두면 유용합니다.

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몫의 법칙 (Quotient Rule) 증명

함수 $u(x),v(x)$가 미분 가능하고 $v(x)\neq0$일 때
$$g(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$$
의 도함수를 구해 보겠습니다.
$$
g'(x)
= \frac{d}{dx}\Bigl[u(x)\cdot\frac1{v(x)}\Bigr].
$$
우선 $h(x)=1/v(x)$의 미분을 구하면,
$$
h'(x)
= \lim_{t\to x}\frac{\frac1{v(t)}-\frac1{v(x)}}{t-x} \\\
= \lim_{t\to x}\frac{v(x)-v(t)}{(t-x) v(t) v(x)} \\\
= -\frac{v'(x)}{[v(x)]^2}.
$$
곱의 법칙을 적용하면
$$
\begin{aligned}
g'(x)
&= u'(x) \frac1{v(x)} + u(x) h'(x) \\\
&= \frac{u'(x)}{v(x)} - u(x) \frac{v'(x)}{[v(x)]^2}
= \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2}.
\end{aligned}
$$
이는 분모의 제곱을 기억하는 것이 핵심입니다.

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합성함수 법칙 (Chain Rule) 증명

합성함수 $f(x)=g\bigl(h(x)\bigr)$가 있을 때, $h$는 $x$에서, $g$는 $h(x)$에서 미분 가능하다고 가정합니다.
$$
f'(x)
= \lim_{t\to x}\frac{g\bigl(h(t)\bigr)-g\bigl(h(x)\bigr)}{t-x}.
$$
분자를 인위적으로 두 단계로 나누어 쓰면
$$
\begin{aligned}
f'(x)
&= \lim_{t\to x}\frac{g\bigl(h(t)\bigr)-g\bigl(h(x)\bigr)}{h(t)-h(x)}
\cdot\frac{h(t)-h(x)}{t-x} \\\
&= g'\bigl(h(x)\bigr) \cdot h'(x).
\end{aligned}
$$
첫 번째 극한은 $g$의 도함수 $g'$를, 두 번째 극한은 $h'$를 나타내므로, 합성함수의 미분은 바깥 함수 도함수에 안쪽 함수 도함수를 곱하는 형태가 됩니다.

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역함수 미분 법칙 증명

함수 $y=f(x)$가 $x=a$ 근처에서 연속·단조이며 미분 가능하고 $f'(a)\neq0$일 때, 역함수 $x=f^{-1}(y)$도 $y_0=f(a)$ 근처에서 미분 가능합니다.
$$
(f^{-1})'!(y_0)
= \lim_{y\to y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}.
$$
여기서 $y=f(x)$, $y_0=f(a)$이므로 분수의 분자ㆍ분모를 각각 $x-a$와 $f(x)-f(a)$로 바꾸면
$$
\begin{aligned}
(f^{-1})'!(y_0)
&= \lim_{x\to a}\frac{x-a}{f(x)-f(a)}
= \left[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right]^{-1}\\\
&= \frac{1}{f'(a)}.
\end{aligned}
$$
즉, 역함수 도함수는 원함수 도함수의 역수임을 알 수 있습니다.

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결론

곱·몫·합성·역함수 미분 법칙은 모두 극한 정의와 기본 미분 공식을 조합하여 증명됩니다.

• 곱의 법칙: 항을 더하고 빼어 분리
• 몫의 법칙: 곱셈 법칙과 역함수 미분 결합
• 합성함수 법칙: 두 극한의 곱
• 역함수 법칙: 분수 극한의 역수

공식을 단순 암기하기보다, 위 증명 과정을 이해하면 다양한 변형 문제에도 유연하게 대처할 수 있습니다. 귀하께서도 각 법칙의 유도 과정을 곱씹어 보시고, 미분 문제를 풀 때마다 직접 증명해 보시길 권장드립니다.

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