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Leibniz 공식, 잔차항 분석, 대표 함수 전개 - 고차 미분과 테일러 다항식 Leibniz 공식, 잔차항 분석, 대표 함수 전개 - 고차 미분과 테일러 다항식고등학교 이과 수학의 미분 학습은 단순한 1차 도함수 계산을 넘어, 높은 차수의 도함수까지 다루고 이를 기반으로 함수를 다항식으로 근사하는 테일러 다항식으로 확장됩니다. 고차 미분은 함수의 곡률·변곡점을 분석하고, 테일러 다항식은 복잡한 함수를 간단한 다항식으로 근사해 계산·해석 편의를 제공합니다.이번 포스팅에서는고차 미분의 개념과 표기법대표적인 고차 미분 공식(Leibniz 공식 등)테일러 다항식의 정의와 잔차항맥클로린 다항식과 실제 예제오류(오차) 분석 및 응용순으로 살펴보며, 실전에서 자주 쓰이는 핵심 패턴과 심화 문제 풀이 팁을 제공합니다.고차 미분의 개념고차 미분의 정의1차 도함수: $f'(x)=\displaysty.. 2025. 4. 10.
곱·몫·합성·역함수 미분 법칙 증명 곱·몫·합성·역함수 미분 법칙 증명미분법에서 함수 간의 결합은 매우 중요합니다. 특히 두 함수의 곱이나 몫, 합성, 그리고 역함수에 대한 미분 공식은 복합 함수의 순간 변화율을 계산할 때 반드시 사용됩니다.이 글에서는 극한 정의를 바탕으로 네 가지 미분 법칙을 엄밀하게 증명하고, 각 공식이 어떻게 유도되는지 단계별로 살펴보겠습니다.곱의 법칙 (Product Rule) 증명함수 $u(x),v(x)$가 모두 점 $x$에서 미분 가능할 때,$$f(x) = u(x) v(x)$$의 도함수는 다음과 같습니다.$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}.$$여기서 분자에 항을 하나 더하고 빼어 변형하면,$$\begin{aligned}&u(x+h)v(x+h)-u(x)v(.. 2025. 4. 9.
기본 미분 공식 20선 암기 팁 기본 미분 공식 20선 암기 팁미분은 이과 수학·물리·공학 등 다양한 분야에서 함수의 변화 속도를 분석하는 핵심 도구입니다. 특히 고등학교 수준에서 자주 쓰이는 기본 미분 공식 20선을 단숨에 암기하면, 복잡한 문제도 빠르게 접근할 수 있습니다.이 글에서는20가지 대표 미분 공식공통 패턴과 암기 포인트다양한 암기법(운율, 시각화, 플래시카드)를 차례로 정리하여, 효과적으로 공식 암기에 도움을 드리겠습니다.1. 대수적 미분 공식 (기본 규칙 6가지)상수 함수공식: $f(x)=C;\Longrightarrow;f'(x)=0$암기 팁: 변하지 않으면 변화율도 0 → “변하지 않는 상수는 0”멱함수(거듭제곱)공식: $f(x)=x^n;\Longrightarrow;f'(x)=n,x^{n-1}$암기 팁: “내년엔 x로.. 2025. 4. 8.
미분 기초와 활용: 변화율·도함수 탄생 스토리 미분 기초와 활용: 변화율·도함수 탄생 스토리고등학교 이과 수학에서 미분(Differentiation)은 함수의 기울기와 변화량을 엄밀하게 다루는 도구입니다. 함수가 입력값에 따라 얼마나 빠르게 변하는지를 정량화한 개념이 바로 변화율(rate of change)이며, 이를 극한 과정을 통해 일반화한 것이 도함수(derivative)입니다.이번 포스팅에서는 평균 변화율에서 순간 변화율로, 그리고 도함수의 정의와 해석까지 한 걸음씩 따라가며 미분이 탄생한 과정을 살펴보고, 실제 그래프 해석과 심화 문제까지 응용력을 기르는 방법을 제시합니다.변화율의 개념평균 변화율함수 $f(x)$에서 $x=a$와 $x=b$ 사이의 평균 변화율은 두 점 $(a,,f(a))$와 $(b,,f(b))$를 잇는 할선(secant li.. 2025. 4. 7.
수열에서 등식·부등식 증명 모음 수열에서 등식·부등식 증명 모음수열 문제를 풀 때 가장 핵심이 되는 기술 중 하나는 수열 간 등식과 부등식을 명확히 증명하는 것입니다. 알맞은 증명 기법을 선택하면, 복잡해 보이는 관계도 체계적으로 해체하여 해답을 이끌어낼 수 있습니다.본 포스팅에서는대수적 변형을 이용한 등식 증명수학적 귀납법을 이용한 일반항·합 공식 증명부등식 증명의 다양한 테크닉대표 예제 및 응용를 단계별로 정리하여, 수능·모의고사·경시형 문제까지 폭넓게 적용할 수 있는 증명 모음을 제공합니다.대수적 변형을 이용한 등식 증명부분합 공식의 유도증명 목표: 등차수열 ${a_n}$의 부분합$$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n}{2}(a_1 + a_n).$$증명 요령: 앞뒤로 뒤집어 더한 뒤 상쇄상세$S_n = a_.. 2025. 4. 6.
복합 점화식, 등차수열 일반항 증명, 이차 점화식의 일반항 유도 - 수열 귀납·수학적 귀납법 심화 풀이 복합 점화식, 등차수열 일반항 증명, 이차 점화식의 일반항 유도 - 수열 귀납·수학적 귀납법 심화 풀이수열의 일반항을 구하거나 어떤 성질을 엄밀하게 증명하기 위해 가장 강력한 도구 중 하나가 수학적 귀납법(mathematical induction)입니다. 특히 단순한 등차·등비수열을 넘어, 복잡한 점화식을 가진 수열이나 비선형 구조를 지닌 사례에서도 귀납법은 “기초 성립 → 귀납 가정 → 귀납 증명”의 세 단계로 체계적이고 반복적인 사고를 가능하게 합니다.이번 포스팅에서는수학적 귀납법의 원리와 단계별 구성수열 귀납 증명 핵심 전략대표 예제 3가지 심층 풀이더 높은 난이도를 위한 확장 기법연습용 심화 문제를 순서대로 다루어, 수능·모의고사 고난도 문제뿐 아니라 경시·연구형 문제에도 활용할 수 있는 귀납적 .. 2025. 4. 5.
AM–GM(산술평균–기하평균) 부등식, 등차중항·등비중항 최적화 문제 AM–GM(산술평균–기하평균) 부등식, 등차중항·등비중항 최적화 문제수능·모의고사 고난도 문항에서 자주 등장하는 AM–GM(산술평균–기하평균) 부등식은, 두 수 이상의 합과 곱 사이의 관계를 이용해 최적값을 찾는 강력한 도구입니다. 특히 등차중항(arithmetic mean) 과 등비중항(geometric mean) 개념을 활용하면, “합이 주어졌을 때 곱의 최대화”나 “곱이 주어졌을 때 합의 최소화” 같은 최적화 문제를 우아하게 해결할 수 있습니다.이 글에서는등차중항과 등비중항의 정의 및 기본 성질AM–GM 부등식의 증명과 직관적 이해등차중항을 이용한 최적화 대표 문제등비중항을 이용한 최적화 대표 문제실전 적용 팁과 심화 문제순으로 정리하여, AM–GM 부등식을 모르는 학생도 단계별로 개념을 이해하고,.. 2025. 4. 4.
무한등비급수·맥클로린 Series 입문 무한등비급수·맥클로린 Series 입문무한등비급수와 맥클로린 급수는 무한급수의 대표적 예로, 함수의 전개와 근사에 핵심 역할을 합니다.무한등비급수는 일정한 비율로 계속 더해지는 급수로, 수렴 조건과 합 공식이 간단명료하여 수능은 물론 공학·물리 문제에서도 자주 등장합니다.맥클로린 급수(Maclaurin Series)는 함수 $f(x)$를 $x=0$을 기준으로 테일러 급수로 전개한 형태로, 다양한 함수의 근사와 해석적 성질 분석에 필수 도구입니다.본 포스팅에서는무한등비급수의 정의, 수렴 조건 및 합 공식맥클로린 급수의 원리, 전개 과정, 대표 함수 전개두 급수의 실제 응용 예제와 심화 학습 포인트를 순차적으로 다루며, 증명 과정과 함께 실전 팁을 제시합니다.무한등비급수 기초정의 및 수렴 조건등비수열 ${b.. 2025. 4. 3.
수열의 극한 & 귀한 리미트: Cesàro 평균까지 수열의 극한 & 귀한 리미트: Cesàro 평균까지수열의 극한은 미적분과 급수, 함수 해석학 전반의 기초입니다. 일반적으로 항 $a_n$이 $L$에 수렴하는지, 혹은 발산하는지를 판별하는 데 그치지만, 때론 표준적인 극한 계산법으로 다룰 수 없는 ‘귀한 리미트’가 등장합니다. 대표적인 예가 Cesàro 평균입니다. Cesàro 평균을 적용하면 본래 수렴하지 않는 수열도 ‘평균값’을 통해 새로운 극한값을 얻을 수 있습니다.이 글에서는수열 극한의 정의와 직관기본 극한 계산 기법과 대표적 특수 리미트Cesàro 평균의 정의·성질·응용Stolz–Cesàro 정리 간략 소개다양한 예제와 고난도 문제 풀이 전략를 차례대로 다루어, 수능 고난도·경시·연구형 문제에 모두 대응할 수 있는 실전 감각을 기르도록 하겠습니다.. 2025. 4. 2.
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