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복합 점화식, 등차수열 일반항 증명, 이차 점화식의 일반항 유도 - 수열 귀납·수학적 귀납법 심화 풀이 복합 점화식, 등차수열 일반항 증명, 이차 점화식의 일반항 유도 - 수열 귀납·수학적 귀납법 심화 풀이수열의 일반항을 구하거나 어떤 성질을 엄밀하게 증명하기 위해 가장 강력한 도구 중 하나가 수학적 귀납법(mathematical induction)입니다. 특히 단순한 등차·등비수열을 넘어, 복잡한 점화식을 가진 수열이나 비선형 구조를 지닌 사례에서도 귀납법은 “기초 성립 → 귀납 가정 → 귀납 증명”의 세 단계로 체계적이고 반복적인 사고를 가능하게 합니다.이번 포스팅에서는수학적 귀납법의 원리와 단계별 구성수열 귀납 증명 핵심 전략대표 예제 3가지 심층 풀이더 높은 난이도를 위한 확장 기법연습용 심화 문제를 순서대로 다루어, 수능·모의고사 고난도 문제뿐 아니라 경시·연구형 문제에도 활용할 수 있는 귀납적 .. 2025. 4. 5.
AM–GM(산술평균–기하평균) 부등식, 등차중항·등비중항 최적화 문제 AM–GM(산술평균–기하평균) 부등식, 등차중항·등비중항 최적화 문제수능·모의고사 고난도 문항에서 자주 등장하는 AM–GM(산술평균–기하평균) 부등식은, 두 수 이상의 합과 곱 사이의 관계를 이용해 최적값을 찾는 강력한 도구입니다. 특히 등차중항(arithmetic mean) 과 등비중항(geometric mean) 개념을 활용하면, “합이 주어졌을 때 곱의 최대화”나 “곱이 주어졌을 때 합의 최소화” 같은 최적화 문제를 우아하게 해결할 수 있습니다.이 글에서는등차중항과 등비중항의 정의 및 기본 성질AM–GM 부등식의 증명과 직관적 이해등차중항을 이용한 최적화 대표 문제등비중항을 이용한 최적화 대표 문제실전 적용 팁과 심화 문제순으로 정리하여, AM–GM 부등식을 모르는 학생도 단계별로 개념을 이해하고,.. 2025. 4. 4.
무한등비급수·맥클로린 Series 입문 무한등비급수·맥클로린 Series 입문무한등비급수와 맥클로린 급수는 무한급수의 대표적 예로, 함수의 전개와 근사에 핵심 역할을 합니다.무한등비급수는 일정한 비율로 계속 더해지는 급수로, 수렴 조건과 합 공식이 간단명료하여 수능은 물론 공학·물리 문제에서도 자주 등장합니다.맥클로린 급수(Maclaurin Series)는 함수 $f(x)$를 $x=0$을 기준으로 테일러 급수로 전개한 형태로, 다양한 함수의 근사와 해석적 성질 분석에 필수 도구입니다.본 포스팅에서는무한등비급수의 정의, 수렴 조건 및 합 공식맥클로린 급수의 원리, 전개 과정, 대표 함수 전개두 급수의 실제 응용 예제와 심화 학습 포인트를 순차적으로 다루며, 증명 과정과 함께 실전 팁을 제시합니다.무한등비급수 기초정의 및 수렴 조건등비수열 ${b.. 2025. 4. 3.
수열의 극한 & 귀한 리미트: Cesàro 평균까지 수열의 극한 & 귀한 리미트: Cesàro 평균까지수열의 극한은 미적분과 급수, 함수 해석학 전반의 기초입니다. 일반적으로 항 $a_n$이 $L$에 수렴하는지, 혹은 발산하는지를 판별하는 데 그치지만, 때론 표준적인 극한 계산법으로 다룰 수 없는 ‘귀한 리미트’가 등장합니다. 대표적인 예가 Cesàro 평균입니다. Cesàro 평균을 적용하면 본래 수렴하지 않는 수열도 ‘평균값’을 통해 새로운 극한값을 얻을 수 있습니다.이 글에서는수열 극한의 정의와 직관기본 극한 계산 기법과 대표적 특수 리미트Cesàro 평균의 정의·성질·응용Stolz–Cesàro 정리 간략 소개다양한 예제와 고난도 문제 풀이 전략를 차례대로 다루어, 수능 고난도·경시·연구형 문제에 모두 대응할 수 있는 실전 감각을 기르도록 하겠습니다.. 2025. 4. 2.
계차가 있는 수열 전략: 부분합·망토법·추가항 계차가 있는 수열 전략: 부분합·망토법·추가항수열 문제 중에서도 “계차(差)가 일정하지 않은” 혹은 “계차 자체가 수열”인 유형은 수능·모의고사 고난도 문항에서 자주 등장합니다. 이때 부분합 전략, 망토법(텔레스코핑), 추가항 기법을 적절히 활용하면 복잡한 점화식을 손쉽게 풀 수 있습니다.이번 포스팅에서는 각 기법의 원리와 증명 과정을 구체적으로 살펴보고, 대표 예제를 통해 실전 감각을 익히겠습니다.계차 수열의 기본 개념계차 수열이란?정의: 원래 수열 ${a_n}$의 인접한 항 차이$$\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$$이 다시 수열을 이룰 때, 우리는 ${\Delta a_n}$을 계차 수열이라 부릅니다.예를 들어, $a_n=n^2$라면$$\Delta a_n=(n+1)^2 - n^2 = 2.. 2025. 4. 1.
등차·등비 수열 완전 분석: 합·중항 성질 등차·등비 수열 완전 분석: 합·중항 성질고등학교 이과 수학에서 수열은 반복·증가·감소 패턴을 다루는 핵심 단원이며, 그중에서도 등차수열과 등비수열은 가장 기본이 되는 유형입니다. 이 두 수열의 합 공식과 중항(중간항) 성질을 완벽히 이해하면, 무한급수, 수열의 극한, 함수 전개, 심지어 물리학·공학 모델링에서도 강력한 도구로 활용할 수 있습니다.이번 포스팅에서는등차수열의 정의·일반항·합 공식 유도등차수열 중항의 성질 및 응용등비수열의 정의·일반항·합 공식 유도등비수열 중항·비율 성질 및 응용대표 예제와 심화 문제를 차례로 살펴보며, 각 공식의 증명 원리와 사고 확장 포인트를 제시합니다. 이 글을 통해 수능 수열 문제는 물론, 경시·연구형 문제에서도 자신 있게 패턴을 적용하실 수 있습니다.등차수열 완전 .. 2025. 3. 31.
수열 기본 템플릿: 귀납적 정의와 점화식 활용 수열 기본 템플릿: 귀납적 정의와 점화식 활용수열(Sequence)은 수학적 대상들의 나열로, 함수처럼 입력 $n$에 대응되는 값 $a_n$이 연속된 일련의 형태를 이룹니다. 특히 귀납적 정의와 점화식(Recurrence Relation)은 수열을 간결하게 기술하고, 반복 구조를 이해하는 핵심 도구입니다.본 포스팅에서는수열의 정의와 분류귀납적 정의의 이해점화식 활용 전략대표 예제와 해법사고력 확장 문제를 순차적으로 살펴보며, 수열 학습의 토대가 되는 템플릿(틀) 을 제시하겠습니다. 이를 통해 복잡한 수열도 체계적으로 분석하고, 수능 고난도 유형까지 풀어낼 수 있는 기초 역량을 갖추실 수 있습니다.수열의 정의와 분류수열의 개념정의: 자연수 $n$에 대응하여 하나의 실수 또는 복소수 값을 부여하는 대응 관계.. 2025. 3. 30.
극한과 무한급수 심화 과정: 수렴 판정 7종 - 코시 응축, 교대급수, 적분, 근, 비율, 직접, 극한 비교판정법 극한과 무한급수 심화 과정: 수렴 판정 7종 - 코시 응축, 교대급수, 적분, 근, 비율, 직접, 극한 비교판정법고등학교 이과 수학에서 무한급수는 함수 극한 개념을 확장해 ‘무한히 더하기’를 다루는 영역입니다. 수렴 여부를 판단하지 못하면 급수의 값은커녕 해의 존재 여부조차 알 수 없으므로, 수렴 판정법은 필수 무장입니다.이번 포스팅에서는 대표적인 7가지 판정법인 코시 응축판정법, 교대급수판정법, 적분판정법, 근판정법, 비율 비교판정법, 직접 비교판정법, 극한 비교판정법을 엄밀한 원리와 함께 정리하고, 각 기법의 유용성·한계점을 비교하여 심화 학습의 실력을 한 단계 끌어올리실 수 있도록 구성했습니다.무한급수와 수렴의 개요무한급수란 항이 무한히 이어지는 수열의 합으로, 일반형은$$\sum_{n=1}^{\i.. 2025. 3. 29.
함수의 극한 & 연속성: ε‑δ 정의부터 미분 준비까지 함수의 극한 & 연속성: ε‑δ 정의부터 미분 준비까지고등학교 이과 수학에서 극한(Limit) 과 연속성(Continuity) 은 미분·적분의 기초가 되는 핵심 개념입니다. 극한을 통해 함수가 어떤 값에 “근접”하는지를 엄밀히 다루고, 연속성을 통해 그래프의 “끊김 여부”를 판별하며, 이를 바탕으로 순간 변화율을 정의할 수 있습니다.이번 포스팅에서는극한의 직관적 이해함수 극한의 정의 및 수열적 접근ε‑δ 정의를 이용한 극한의 엄밀성연속성의 개념과 유형미분으로 나아가기 위한 평균·순간 변화율대표 예제 및 사고력 확장순으로 정리하여, 미분 학습 전 반드시 숙지해야 할 극한과 연속성의 전 과정을 다룹니다.극한의 개념과 직관수열적 정의 탐색수열 ${a_n}$이 어떤 값 $L$에 수렴한다는 것은, $n$이 커질수.. 2025. 3. 28.
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