확률 기본 공식 완전 정리: 덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률

확률 기본 공식 완전 정리: 덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률

확률 문제를 풀 때 공식은 단순히 ‘암기 과제’가 아니라 문제를 해석하고 구조화하는 언어입니다. 그중에서도 덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률은 모든 확률 계산의 뼈대가 되는 세 축입니다. 세 정리를 정확히 이해하면 초·중급 수준의 경우의 수 문제는 물론, 베이즈 정리나 통계적 독립성 같은 심화 개념도 쉽게 연결됩니다.

이번 포스팅에서는 세 공식의 정의 → 직관 → 증명 스케치 → 실전 예제 → 실수 방지 포인트 순으로 정리해 드립니다.

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덧셈정리 - 합사건 확률의 계산

1. 공식과 직관

• 공식
• $$
  P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
  $$
• 직관
  두 사건 A, B가 동시에 일어나는 영역 $A \cap B$를 두 번 더하지 않도록 한 번 빼 준다.

2. 왜 이렇게 생겼을까?

베네 다이어그램을 그려 보면 $A \cup B$는 A와 B의 겹치는 부분을 포함한 전체 영역입니다.

1. $P(A)$와 $P(B)$를 각각 더하면 겹치는 부분이 두 번 합산됩니다.
2. 따라서 한 번 빼 줘야 정확한 넓이(확률)가 됩니다.

3. 실전 예제

• 주사위 두 개를 던질 때 ‘합이 7이거나 두 눈이 같은 경우’의 확률
  • A: 합이 7 $\Rightarrow 6$가지
  • B: 두 눈이 같음 $\Rightarrow 6$가지
  • $A \cap B$는 없음
  $$
  P(A \cup B)=\frac6{36}+\frac6{36}-0=\frac13
  $$

4. 실수 방지

• 중복 여부 판단을 먼저 한다.
• 둘 이상의 사건이 있을 때는 포함 - 배제 원리를 확장 적용한다.

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곱셈정리 - 연속사건 확률의 계산

1. 공식과 직관

• 공식
• $$
  P(A \cap B)=P(A),P(B\mid A)
  $$
• 직관
  ‘먼저 A가 일어나고, 그다음 A가 이미 일어난 조건에서 B가 일어날 확률’을 곱해 주는 과정.

2. 증명 스케치

조건부확률 정의

$$
P(B\mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\quad(A\neq0)
$$

양변에 $P(A)$를 곱하면 곧바로 도출된다.

3. 실전 예제

• 주머니에 빨강 공 3개, 파랑 공 2개. 한 개를 꺼내서 색을 확인하지 않고 옆에 놓은 뒤, 두 번째 공이 빨강일 확률
  • A: 첫 번째 공이 빨강
    $P(A)=\frac35$
  • $B\mid A$: 첫 번째가 빨강인 조건에서 두 번째가 빨강
  • $$
    P(B\mid A)=\frac{2}{4}=\frac12
    $$
  • 따라서
  • $$
    P(A \cap B)=\frac35\times\frac12=\frac3{10}
    $$

4. 실수 방지

• 조건부확률을 정확히 설정한다.
• 사건 순서를 바꿔 계산하면 조건이 달라져 오류가 생긴다.

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조건부확률 - 정보가 추가됐을 때의 확률

1. 공식과 직관

• 공식
• $$
  P(B\mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\quad(A\neq0)
  $$
• 직관
  전체 표본공간을 ‘A가 일어난 세계’로 축소한 뒤, 그 안에서 B가 차지하는 비율을 계산한다.

2. 베이즈 정리와 연결

$$
P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}
$$

델타진단, 스팸필터 등 역방향 추론 문제를 해결할 때 쓰인다.

3. 실전 예제

• 의료검사 정확도 문제
  • 질병 유병률 $P(D)=0.01$
  • 양성 판정률 $P(+\mid D)=0.95$
  • 오진율 $P(+\mid \overline{D})=0.02$
  • 실제 양성일 확률
  • $$
    P(D\mid +)=\frac{0.95\times0.01}{0.95\times0.01+0.02\times0.99}\approx0.324
    $$

4. 실수 방지

• 분모 $P(A)$값을 전체 확률로 반드시 계산한다.
• 조건부 대상을 명확히 표시해 혼동을 막는다.

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실전 사용 체크리스트

1. 사건 구분 - 합사건인지, 연속사건인지, 조건부인지 먼저 판단
2. 독립성 판단 - $P(A \cap B)=P(A)P(B)$가 성립하면 독립
3. 여사건 활용 - 복잡하면 $P(\overline{A})$를 구해 1에서 빼기
4. 표본공간 시각화 - 베네 다이어그램이나 트리 다이어그램으로 구조 파악
5. 단위 실험 - 작은 수치로 시뮬레이션해 검산

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결론

덧셈정리로 겹침을 제거하고, 곱셈정리로 단계적 사건을 연결하며, 조건부확률로 정보 업데이트를 반영하면 대부분의 확률 문제를 체계적으로 해결할 수 있습니다. 세 공식은 서로 긴밀히 얽혀 있어 어느 하나를 깊이 이해하면 나머지가 자연스럽게 따라옵니다. 꾸준히 베네 다이어그램과 트리 다이어그램을 그려 가며 연습하면, 복잡한 조건도 직관적으로 해석할 수 있는 ‘확률 감각’이 길러질 것입니다.

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