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확률 기본 공식 완전 정리: 덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률 확률 기본 공식 완전 정리: 덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률확률 문제를 풀 때 공식은 단순히 ‘암기 과제’가 아니라 문제를 해석하고 구조화하는 언어입니다. 그중에서도 덧셈정리, 곱셈정리, 조건부확률은 모든 확률 계산의 뼈대가 되는 세 축입니다. 세 정리를 정확히 이해하면 초·중급 수준의 경우의 수 문제는 물론, 베이즈 정리나 통계적 독립성 같은 심화 개념도 쉽게 연결됩니다.이번 포스팅에서는 세 공식의 정의 → 직관 → 증명 스케치 → 실전 예제 → 실수 방지 포인트 순으로 정리해 드립니다.덧셈정리 - 합사건 확률의 계산1. 공식과 직관공식$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$직관두 사건 A, B가 동시에 일어나는 영역 $A \cap B$를 두 번 더하지 않도록 한 번 빼 준다.. 2025. 6. 5.
확률과 통계 경우의 수 완전 정리: 복합·배열·조합 노하우 확률과 통계 경우의 수 완전 정리: 복합·배열·조합 노하우경우의 수는 확률·통계 학습의 첫 관문이자, 수능·경시·코딩테스트까지 관통하는 핵심 도구입니다. 그런데 **‘순열·조합 공식만 외우면 끝’**이라 생각했다가, 조건 · 중복 · 배치가 섞인 문제에서 막히는 경우가 많습니다.이번 글에서는 복합(combination of multiple stages)·배열(arrangement)·조합(combination)의 기본 공식을 재정리하고, 실전 노하우와 실수 방지 체크리스트를 함께 소개합니다. ─ 길지만 끝까지 읽고 나면, 복잡한 경우의 수 문제도 차분히 ‘쪼개고·세고·확인하는’ 습관이 자리 잡을 것입니다.1. 용어 클리어부터: 배열·조합·복합배열(순열, permutation)순서를 고려해 n개 중 r개를 .. 2025. 6. 3.
기하와 벡터 증명 베스트 문제 10선 기하와 벡터 증명 베스트 문제 10선수학Ⅰ·Ⅱ, 미적분, 기하 과목이 선택형으로 분리되면서 ‘벡터 증명’은 선택자의 전유물처럼 느껴지곤 합니다. 그렇지만 벡터는 도형의 성질을 깔끔하게 정리하고, 복잡한 기하적 관계를 한눈에 드러내 주는 강력한 언어입니다. 좌표 없이도 성분 계산만으로 중선·무게중심·내심·외심 등 핵심 개념을 증명할 수 있고, 삼각형·사면체·다각형으로 확장해도 기법이 크게 달라지지 않는다는 점이 매력적입니다.이번 글에서는 수험생·예비 교사·수학 동아리원 모두에게 도움이 될 만한 ‘기하와 벡터 증명 베스트 문제 10선’을 엄선했습니다. 각 문제는 ▲출제 빈도 ▲개념 통합도 ▲확장 가능성 세 가지 기준으로 고른 뒤, 문제 → 사고 순서 → 핵심 벡터 계산 → 결론 형식으로 풀어 봅니다. 풀이 .. 2025. 6. 1.
삼각형 중선·무게중심·외심·내심 벡터 풀이 삼각형 중선·무게중심·외심·내심 벡터 풀이벡터 기법은 좌표를 직접 다루지 않고도 삼각형의 기하·대수적 성질을 한꺼번에 파악할 수 있다는 장점이 있다. 특히 **중선, 무게중심(centroid), 외심(circumcenter), 내심(incenter)**은 모두 ‘점‒점 관계’를 벡터 내적·합·스칼라배로 표현하면 깔끔하게 증명된다. 아래에서는 삼각형 $\triangle ABC$(위치벡터를 각각 a, b, c)를 두고 네 가지 요소를 순서대로 증명한다.1. 중선(Median)정의: 한 꼭짓점에서 반대편 변의 중점으로 이은 선분.중점 벡터변 $BC$의 중점 $M$ → $\mathbf{m}=\dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}$중선 벡터식$AM$의 방향벡터: $\mathbf{m}-\math.. 2025. 5. 29.
원·타원·쌍곡선·포물선의 초점 기법 원·타원·쌍곡선·포물선의 초점 기법1. 기본 개념 정리원의 초점(중심)정의: 원은 모든 점이 중심 $O(h,k)$로부터 같은 거리를 갖는 궤적.표준방정식:$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.$$초점 기법: 원에는 초점이 아니라 “중심”이 하나이며, 임의의 점 $P(x,y)$는$$OP = r$$를 만족한다.타원의 초점(Foci)정의: 두 초점 $F_1, F_2$가 주어질 때, 점 $P$이 두 초점까지의 거리 합이 일정($2a$)인 궤적.표준방정식(중심 $(0,0)$, 장축 $x$-축):$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad c^2 = a^2 - b^2,\quad F_{1,2}=(\pm c,0).$$초점 기법:임의의 $P(x,y)$가$$PF_1 +.. 2025. 5. 27.
행렬 기초 & 벡터변환 (고1 선택) 행렬 기초 및 벡터 변환 가이드 (고1 선택)고등학교 1학년 선택 과목으로 배우는 행렬(matrix) 은 여러 벡터를 한 번에 다루거나, 연립방정식·좌표변환·컴퓨터 그래픽 등 다양한 분야에 활용되는 강력한 도구입니다.이 글에서는행렬의 정의와 기본 연산행렬과 벡터의 곱을 통한 벡터 변환직교 변환·확대·회전·반사 매트릭스실전 예제와 팁을 차례로 정리하여, 행렬과 벡터 변환의 핵심 개념을 이해하고 실전에 바로 적용할 수 있도록 안내합니다.행렬의 기초행렬의 정의$m\times n$ 행렬이란, 가로 $n$개, 세로 $m$개 숫자를 직사각형 배열로 놓은 것보통 대문자 $A=[a_{ij}]$로 표기하며, $a_{ij}$는 $i$번째 행, $j$번째 열 원소행렬 덧셈·스칼라배덧셈: 같은 크기의 행렬 $A,B$에 대하여.. 2025. 5. 24.
구면·원뿔·원통의 단면 기하 구면·원뿔·원통의 단면 기하3차원 도형인 구면, 원뿔, 원통을 평면으로 자를 때 나타나는 단면(截面, cross-section) 은 기하학의 핵심 주제로, 물리·공학·컴퓨터 그래픽 등에서 자주 다루어집니다.구면은 어디서 잘라도 항상 원 또는 원점 대칭 타원을 만들고,원뿔은 각도에 따라 원·타원·포물선·쌍곡선 등 다채로운 이차곡선을 생성하며,원통은 평행·수직 단면에 따라 직사각형·원·타원을 나타냅니다.이 글에서는 각각의 도형이 평면과 만날 때 나타나는 단면의 형태를 정리하고, 주요 기하학적 성질과 응용 예제를 살펴보겠습니다.구면의 단면구면의 평면 단면: 원구면(반지름 $R$, 중심 $O$)을 임의의 평면으로 자르면, 잘린 평면 위에는 항상 원이 생깁니다.평면이 구면 중심 $O$를 지날 때: 지름 $2R$인.. 2025. 5. 21.
벡터를 활용한 삼각형 면적 및 사면체 체적 계산 가이드 벡터를 활용한 삼각형 면적 및 사면체 체적 계산 가이드삼각형 면적 계산의 기본 원리벡터와 기하적 해석벡터는 크기와 방향을 가진 유향 선분으로, 평면 기하 문제에서 두 변을 표현할 때 유용합니다. 삼각형 $ABC$의 두 변 $\overrightarrow{AB}$과 $\overrightarrow{AC}$를 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$라 할 때, 이 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이는 벡터의 외적(cross product) 크기로 구할 수 있습니다.외적을 이용한 면적 공식벡터 외적 정의이때 외적 $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$는로 정의되며, 그 크기는($\theta$는 두 벡터 사이 각도)입니다.$$|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mat.. 2025. 5. 18.
직선·평면 방정식 총망라 직선·평면 방정식 총망라공간 기하에서 직선과 평면의 방정식은 벡터 연산과 결합해 다양한 형태로 표현할 수 있습니다. 이들을 자유자재로 전환·응용하면, 위치·거리·교점·각도 등을 깔끔하게 계산할 수 있습니다.본 포스팅에서는 2D·3D 직선과 평면의 모든 대표 방정식을 한눈에 살펴보고, 각 식의 유도 원리와 용도를 정리합니다.직선 방정식벡터(♣)·매개변수 형태2차원$$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t,\mathbf{d},\quad t\in\mathbb{R}$$$\mathbf{r}_0$: 직선 위 한 점의 위치벡터$\mathbf{d}$: 방향벡터3차원$$(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t,(a,b,c).$$연속·대칭(대칭·표준) 형태2차원$$\frac{x - x_0}{d.. 2025. 5. 16.
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